Aufgabe über Endomorphismus und Vektorräume

Question

Sei f : V → V ein Endomorphismus eines K-Vektorraums V mit f² = id_V .

a) Zeigen Sie, dass f nur die Eigenwerte 1 und −1 haben kann.

b) Zeigen Sie, dass jedes v ∈ V in einem f-invarianten Untervektorraum U ⊂ V mit Dimension dim(U) ≤ 2 enthalten ist.

c) Sei nun K ein Körper, in dem 1 + 1 ̸= 0 gilt. Zeigen Sie, dass f diagonalisierbar ist.
d) Sei nun K = ℤ /2 ℤ. Finden Sie V und f wie oben, sodass f nicht diagonalisierbar ist.

Answer 1

zu a)  Sei k ein Eigenwert von f

==>   Es gibt v≠0 mit f(v)=k*v

==>  f^2 (v) = f(f(v)) = f(k*v) ) = k*f(v) =k*k*v = k^2 * v

andererseits wegen f^2 = id  gilt  f^2 (v) = v

und damit    v = k^2 * v

wegen v≠0  also k^2 = 1 ==>  k=1 oder k=*´-1.