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Sei K ein Körper. Für n∈N und λ∈K definiere die Matrix Jn(λ) ∈Mn(K).(Obere Dreiecksmatrix mit λ auf der Diagonalen und 1 unmittelbar über der Diagonalen.)

Sei φ:Kn→Kn die lineare Abbbildung mit φ(v) =Jn(λ)v für v∈Kn. Da Jn(λ) eine obere Dreiecks-matrix ist, gilt χφ= (λ−X)n; insbesondere ist λ der einzige Eigenwert von φ.

(a) Bestimmen sie die Dimensionen des Eigenraums sowie des verallgemeinerten Eigenraums zu λ.

Laut Vorlesung heißt die Matrix Jn(λ) Jordan-Block zum Eigenwert λ. Es ist dim Eφ(λ) =1, da Jn(λ) aus genau einem Block zum Eigenwert λ besteht und dieser Block hat die Größe nxn.

Die Dimension des verallgemeinerten Eigenraums ist dim Hφ(λ) = n, da (φ-λI)n(v)=0 ist. Außerdem braucht man n Vektoren, um Jn(λ) darstellen zu können.

Stimmt das so? Oder wie kann ich das sonst zeigen?

(b) Für n= 2,3,4, finden Sie Formeln für die Potenzen Jn(λ)k, k∈N

Es ist J2(λ)k=((λk  kλk-1),(0 λk))

J3(λ)k= ((λk  kλk-1   (k*(k-1)/2)λk-2),(0  λk  kλk-1),(0  0  λk))

J4(λ)k=((λk   kλk-1   ?    ?),(0  λk  kλk-1  ?),(0  0  λk  kλk-1),(0  0  0  λk))

Kann mir hier auch jemand sagen, ob das so stimmt und wie ich J4(λ) richtig berechne?

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Kann mir niemand weiterhelfen oder sagen ob die a) so stimmt?

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