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1. Sei A eine obere Dreiecksmatrix mit a1,1, a2,2, · · · , an,n auf der Diagonalen:

Zeigen Sie, dass det(A) = a1,1 · · · an,n.

2. Sei A eine untere Dreiecksmatrix mit a1,1, a2,2, · · · , an,n auf der Diagonalen:

Zeigen Sie, dass det(A) = a1,1 · · · an,n.

Ich hänge schon den ganzen Tag an dieser Aufgabe und es wäre wirklich toll, wenn sie mir jemand lösen könnte :)

 

Danke.

Gefragt von
Ich habe gerade bei google gesucht und dort führt jemand den Beweis zu 1.) per Induktion nach n. Gibt es noch eine andere denkbare Lösung dazu? Was Induktion angeht, bin ich nicht allzu fit :/
Hat sich erledigt. Habe es hinbekommen :)
(:

könntest du vielleicht deinen lösungsweg ausführen ???

1 Antwort

+1 Punkt

1. Beweis per Induktion nach n:

I.A.: n=1: A1=(a1,1) => det(A1)=a1,1

I.S.: n->n+1

{ A }_{ n+1 }=\begin{ pmatrix } { a }_{ 1,1 } & ... & { a }_{ 1,n+1 } \\ ... & { a }_{ 1,1 } & ... \\ 0 & ... & { a }_{ n+1,n+1 } \end{ pmatrix }\\ Entwicklung\quad nach\quad letzter\quad Zeile:\\ det({ A }_{ n+1 })={ a }_{ n+1,n+1 }*{ (-1) }^{ n+1+n+1 }det({ A }_{ n })\\ ={ a }_{ n+1,n+1 }*1*{ a }_{ 1,1 }{ a }_{ 2,2 }...{ a }_{ n,n }\\ ={ a }_{ 1,1 }{ a }_{ 2,2 }...{ a }_{ n,n }{ a }_{ n+1,n+1 }

 

2. Es gilt

det(Bn)=det(BTn)=det(An).

Daher folgt die Behauptung aus 1.

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