Wie Kurvenintegral des Vektorfeldes v entlang Kurve K={(x,y) ∈ ℝ^2 : (y-4)^2+(x+2)^2=16} mit Integralsatz berechnen?

Question

Hallo :)

Ich habe Schwierigkeiten bei folgender Aufgabe.

Gegeben sei die den gegen den Uhrzeigersinn orientierte Kurve K={(x,y) ∈ ℝ^2 : (y-4)^2+(x+2)^2=16} und das vektorfeld \( \begin{pmatrix} x^2-2y\\-y-3x\end{pmatrix} \). Berechnen Sie das Kurvenintegral des Vektorfeldes v entlang der der Kurve mit Hilfe eines Integralsatzes.

Also ich kenne ein paar Integralsätze und denke dass der Satz von Green weiter helfen könnte oder?

Man kann ja K und v auf ℝ^3 fortsetzen und dann v rotieren wobei dann die letzte Komponente wichtig wäre zum Rechnen.

Damit könnte man dann weiter rechnen und Satz von Green anwenden, aber hier steht auch:

Es gilt \( \int\limits_{K}\) v • dx = \( \int\limits_{M} \) rot v dx, wobei M = { (x,y) ∈ ℝ^2 : .... ≤16}

Und Fläche von M sei ein Kreis, der Flächeninhalt der Menge ist: ....

\( \int\limits_{K} \) v(x) dx = .... 

Also v kann ich rotieren, aber was muss ich für M hinschreiben? Müsste ich x^2+y^2≤16 schreiben? (Weil gesagt wurde, dass die Fläche von M ein Kreis wäre.)

Und wie berechne ich dann den Flächeninhalt der Menge M ?

Und warum steht dann v(x) also woher kommt das (x)  ? (x ist auch ein Vektor aber ich weiß nicht woher der kommt...)

Ich wäre dankbar wenn mir jemand helfen könnte, bin sehr verzweifelt geworden...

:)

Answer 1

Aloha :)

Das gegebene Vektorfeld \(\vec F=\left(\begin{array}{c}x^2-2y\\-y-3x\end{array}\right)\) soll entlang der im Gegenuhrzeigersinn orientierten Kurve \(K=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\,:\,(y-4)^2+(x+2)^2=16\right\}\) durchlaufen werden. Die Kurve \(K\) ist der Rand eines geschlossenen Kreises mit Radius \(R=4\) und Mittelpunkt \((-2\,;\,4)\). Diesen Weg kann man in Polarkoordinaten parametrisieren:

$$\vec r=\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2+R\cos\varphi\\4+R\sin\varphi\end{array}\right)\quad;\quad R=4\;;\;\varphi\in[0;2\pi[$$Für die Berechnung des gesuchten Integrals bietet sich der Stoke'sche Satz an. Dazu berechnest du die Rotation von \(\vec F\) in kartesischen Koordinaten:

$$\text{rot}\,\vec F=\left(\begin{array}{c}\partial_x\\ \partial_y\\\partial_z\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}x^2-2y\\-y-3x\\0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\\-3-(-2)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\\-1\end{array}\right)$$Die Kreisfläche liegt in der xy-Ebene, also steht der Vektor \(\vec n=\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)\) senkrecht auf ihr und das Flächenelement lautet in kartesischen Koordinaten \(d\vec f=\vec n\,dx\,dy\). Mit dem Satz von Stokes ist nun das gesuchte Integral:

$$I=\oint\limits_K\vec F\,d\vec r=\int\limits_{M(K)}\text{rot}\,\vec F\,d\vec f=\int\limits_{M(K)}\left(\begin{array}{c}0\\0\\-1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)\,dx\,dy=-\int\limits_{M(K)}dx\,dy$$Zur Parametrisierung der Fläche \(M(K)\) braucht man nur den festen Radius \(R=4\) zu variieren:

$$\vec r_M=\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2+R\cos\varphi\\4+R\sin\varphi\end{array}\right)\quad;\quad R\in[0;4]\;;\;\varphi\in[0;2\pi[$$Jetzt fehlt nur noch die Transformation des Integrals von kartesischen Koordinaten zu Polarkoordinaten:

$$dx\,dy=\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(R,\varphi)}\right|\,dR\,d\varphi=\left|\begin{array}{c}\partial_R(x) & \partial_\varphi(x)\\\partial_R(y) & \partial_\varphi(y)\end{array}\right|\,dR\,d\varphi=\left|\begin{array}{c}\cos\varphi & -R\sin\varphi\\\sin\varphi & R\cos\varphi\end{array}\right|\,dR\,d\varphi=R\,dR\,d\varphi$$Damit lautet das Integral schließlich:

$$I=-\int\limits_0^4dR\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\,R=-\int\limits_0^4dR\,2\pi\,R=\left[-\pi\,R^2\right]_0^4=-16\pi$$

Comments

Woooow danke sehr ! :) Ich stand wohl echt auf dem Schlauch, weil ich vom Satz von Green ausgegangen bin ...

Vielen herzlichen dank für deine große Hilfe ! :)