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Aufgabe:

f: ℝ→ℝ, f(x):=x²,

zeigen Sie, dass die Menge:

{ \( \begin{pmatrix} x\\f(x) \end{pmatrix} \) ∈ℝ², x∈ℝ} abgeschlossen ist. Ist die Menge auch kompakt?


Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass M abgeschlossen ist, wenn M alle Randpunkte von M enthält - wie kann ich das jedoch in diesem Fall zeigen?

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Entweder ist die Punktmenge selbst schon ihr Rand oder sie hat gar keinen Rand.

1 Antwort

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Beste Antwort

Sei P = (x0, y0) ∈ ℝ2 mit y0 ≠ x02.

Dann ordnet

        d(x) := √((x - x0)2 + (x2 - y0)2)

jedem x ∈ ℝ den Abstand zwischen dem Punkt (x0, y0) und dem Punkt (x, f(x)) zu. Bestimme das Minimum von d und zeige dass es größer als 0 ist. Dann hast du gezeigt, dass es eine Umgebung um (x0 | y0) gibt, in der keine Punkte von M liegen, dass also

        P ∉ M ⇒ P ist kein Randpunkt von M

für jedes P ∈ ℝ2 gilt.

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