grenzwert bestimmen ohne l'Hospital

Question

Beweisen Sie ohne Verwendung der Regel von de l'Hospital die folgende Grenzwertaussage:

\(\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{k}}{\mathrm{e}^{x}}=0, \qquad \text { für alle } \quad k \in \mathbb{N}_{0}\)

Hinweis: Benützen Sie die Taylor-Reihe \(\mathrm{e}^{x}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n !} \)

Answer 1

Für alle x > 0 gilt$$\mathrm e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}>\frac{x^{k+1}}{(k+1)!}$$Es folgt$$\frac{\mathrm e^x}{x^k}>\frac x{(k+1)!}\longrightarrow\infty.$$