Nun, du sollt also eine möglichst kleine positive reelle Zahl r bestimmen so dass gilt:
$$ \left| \lim _{ n\rightarrow \infty }{ f(x)-f(r) } \right| <0,001$$
Mit \(\lim _{ n\rightarrow \infty }{ f(x)= } \lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 3x+2 }{ 2x+1 } } =\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 3+\frac { 2 }{ x } }{ 2+\frac { 1 }{ x } } } =\frac { 3 }{ 2 }\) :
$$\Leftrightarrow \left| \frac { 3 }{ 2 } -f(r) \right| <0,001$$
$$\Leftrightarrow \left| \frac { 3 }{ 2 } -\frac { 3r+2 }{ 2r+1 } \right| <0,001$$
$$\Leftrightarrow -0,001<\frac { 3 }{ 2 } -\frac { 3r+2 }{ 2r+1 } <0,001$$
$$\Leftrightarrow -0,001<\frac { 6r+3-(6r+4) }{ 4r+2 } <0,001$$
$$\Leftrightarrow -0,001<\frac { -1 }{ 4r+2 } <0,001$$
$$\Leftrightarrow -1<\frac { -1000 }{ 4r+2 } <1$$
mit r > 0
$$\Leftrightarrow -4r-2<-1000<4r+2$$
$$\Leftrightarrow -4r<-998<4r+4$$
$$\Leftrightarrow r>249,5>-r-1$$
$$\Leftrightarrow r>249,5\wedge r>-249,5-1=-250,5$$
$$\Leftrightarrow r>249,5$$
