Hypothesentest mit gegeben Signifikanzniveau zu gezinkten Würfel durchführen

Question

Aufgabe:

Aida kauft einen gezinkten Würfel, der Verkäufer versichert ihr, dass der Wurfel mit Wahrscheinlichkeit 1/3 auf die Sechs fällt, wahrend alle anderen Augenzahlen mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten. Um dies zu überprüfen, würfelt Aida hundert mal und beobachtet dabei folgende Haüfigkeiten:

1 -> 13 mal
2 -> 10 mal
3 -> 12 mal
4 -> 17 mal
5 -> 13 mal
6 -> 35 mal

Kann Aida auf Signifikanzniveau 0,01 dem Verkaufer ihren Glauben schenken? Führen Sie einen geeigneten Hypothesentest durch.

$$\begin{array}{l}{\text { Hinweis: Sie dürfen } \chi_{k, \alpha}^{2} \text { mit } k \cdot\left(1-(2 /(9 k))+z_{\alpha} \cdot \sqrt{2 /(9 k)}\right)^{3} \text { approximieren, wobei } z_{\alpha}} \\ {\text { das } \alpha \text { -Quantil der Standardnormalverteilung ist. }}\end{array}$$

Problem/Ansatz:

Ich konnte leider letzte Woche nicht an meiner Übung teilnehmen und jetzt sitze ich vor der Hausaufgabe und weiß leider überhaupt nicht, wie ich die Sache angehen soll. Kann mir vielleicht jemand einen Tipp geben?

Answer 1

k	Nk	nk
1	13	40/3
2	10	40/3
3	12	40/3
4	17	40/3
5	13	40/3
6	35	100/3

(N_k: beobachtete Häufigkeit, n_k: erwartete Häufigkeit)

H₀: Die vom Verkäufer versicherten Whk. treffen zu

$$\chi_{EMP}^2=\sum_{k=1}^{6} \frac{(N_k-n_k)^2}{n_k}=2,075$$

6 Klassen => k = 6-1 = 5 Freiheitsgerade

0,01 Signifikanzniveau => α = 1-0,01 = 0,99

\(\chi_{5;0,99}^2\approx 15,09\) kannst du entweder mit der gegebenen Formel näherungsweise ausrechnen (dann komme ich auf ca. 15,12) oder gleich in einer entsprechenden Tabelle ablesen (das Quantil der Normalverteilung wirst du ja auch einer Tabelle entnehmen).

Wenn \(\chi_{EMP}^2>\chi_{k,\alpha}^2\) wird H₀ abgelehnt. In diesem Fall kann dem Verkäufer also geglaubt werden.