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Hallo @all,

ich sitze schon recht lange an folgender Übungsaufgabe. Sie klingt eigentlich einfach, aber ich habe keine Idee. Hier die Aufgabe:

"An einer viel befahrenen Straßenkreuzung ereignen sich pro Monat im Durchschnitt 4,7 Unfälle. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ereignen sich in einem Monat maximal 2 Unfälle?"

Als Tipp ist angegeben:

Gehen Sie von einer Binomialverteilung mit einer sehr großen Anzahl n an Experimenten und einer sehr kleinen Eintrittswahrscheinlixhkeit p aus. Ermitteln sie dafür eine Dichtefunktion (und zeigen Sie, dass es sich tatsächlich um eine Dichtefunktion handelt). Wenden Sie Ihr Ergebnis auf die Fragestellung an.

Meine Frage ist, kann man das irgendwie auf eine Normalverteilung zurückführen? Oder wie gehe ich hier vor?

Danke euch für jede Hilfe

von

Dass man bei einer DISKRETEN Zufallsgröße von einer Dichtefunktion spricht ist mir neu.

Das steht so in der Aufgabenstellung. Ich verstehe aber eh nicht, was der Tipp soll. Die Lösung von MatheCoach verstehe ich hingegen.

Hmmm, irgendwie würde ich gerne den Tipp aus der Aufgabenstellung verfolgen. Dank Mathecoach weiß ich ja nun ungefähr, was rauskommt. Aber so richtig glücklich bin ich mit der Lösung noch nicht...

2 Antworten

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Beste Antwort

Aloha :)

Ich dachte, dass die bisher gegebene Lösung ausreicht und wollte mir eigentlich die Schreibarbeit sparen. Aber da du ja noch nicht so richtig überzeugt zu sein scheinst, möchte ich hier mit dir gemeinsam den Lösungsweg aus dem Hinweis gehen.

Bei einer Binomialverteilung tritt ein Ereignis entweder mit der Wahrscheinlichkeit \(p\) ein oder mit der Wahrscheinlichkeit \(1-p\) nicht ein. Die Wahrscheinlichkeit \(P(k)\) für das genau \(k\)-malige Eintreten des Ereignisses bei \(n\) Versuchen ist:

$$P(k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$$Das Problem ist hier, dass du \(n\) und \(p\) nicht kennst. Du kennst aber den Erwartungswert der Binomialverteilung \(\mu=n\cdot p\), nämlich 4,7 Unfälle pro Monat, und du weißt, dass du sehr viele Versuche hast, \(n\gg1\) (also viele Autos, die die Kreuzung nutzen), die mit sehr geringer Wahrscheinlichkeit \(p\ll1\) zum Eintreten des Ereignisses (Unfall) führen, also ist auch \(k\ll n\). Mit diesen Feststellungen formen wir zunächst die Formel für die Binomialverteilung um:

$$P(k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}\,p^k(1-p)^n(1-p)^{-k}=\frac{1}{k!}\,\frac{n!}{(n-k)!}\,\left(\frac{p}{1-p}\right)^k\,(1-p)^n$$$$\phantom{P(k)}=\frac{1}{k!}\,\underbrace{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}_{k\;Faktoren}\left(\frac{p}{1-p}\right)^k\left(1-\frac{np}{n}\right)^n$$Jetzt führen wir 3 Näherungen durch.

(1) Da \(k\ll n\) ist, nähern wir \(n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)\approx n^k\). Beim Ersetzen der \(k\) Faktoren durch \(n^k\), vergrößern wir den Wert von \(P(k)\) ein wenig.

(2) Wegen \(p<<1\) ist \(\frac{p}{1-p}\approx p\). Wir nähern daher \(\left(\frac{p}{1-p}\right)^k\approx p^k\). Dabei verringern wir den Wert von \(P(k)\) ein wenig.

(3) Schließlich erinnert der Term \(\left(1-\frac{np}{n}\right)^n\) stark an \(\left(1+\frac{x}{n}\right)^n\) mit \(x=-np\), und bekanntlich ist \(\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n=e^x\). Weil hier \(n\gg1\) gilt, können wir \(\left(1-\frac{np}{n}\right)^n\approx e^{-np}\) nähern.

Die Anwendung aller 3 Teilnäherungen ergibt nun:$$P(k)\approx\frac{1}{k!}\,n^k\,p^k\,e^{-np}\quad\mbox{bzw.}\quad \boxed{P(k)=\frac{\mu^k}{k!}\,e^{-\mu}\;\;;\;\;\mu=np}$$Aus der Potenzreihe der Exponentialfunktion, \(e^{\mu}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{\mu^k}{k!}\), folgt sofort, dass die Summe von \(P(k)\) über alle \(k\) gleich \(1\) ist. Die genäherte Wahrscheinlichkeitsverteilung für \(P(k)\) heißt Poisson-Verteilung und wird auch die "Verteilung der seltenen Ereignisse" genannt.

Jetzt kommt der einfache Teil, nämlich das Einsetzen der konkreten Werte. Gesucht ist \(P(\le2)\) mit \(\mu=4,7\):

$$P(\le2)=\frac{1}{e^\mu}\left(\frac{\mu^0}{0!}+\frac{\mu^1}{1!}+\frac{\mu^2}{2!}\right)=\frac{1}{e^{4,7}}\left(1+4,7+\frac{4,7^2}{2}\right)=15,23\%$$

von 19 k

Müsste es am Ende nicht P(0) + P(1) + P(2) heißen?

Lol, ja. Ich habe das durch \(P(\le2)\) korrigiert.

Danke fürs Aufpassen! ;)

Genial !!!

Ich danke dir sehr... \o/

+1 Daumen

Ein Monat hat 30 * 24 * 60 = 43200 Minuten

In einer Minute passiert ein Unfall mit einer Wahrscheinlichkeit von 4.7/43200 = 0.0001088

Mit welcher Wahrscheinlichkeit ereignen sich in einem Monat maximal 2 Unfälle?"

∑ (x = 0 bis 2) ((43200 über x)·0.0001088^x·(1 - 0.0001088)^(43200 - x)) = 0.1523

Meine Frage ist, kann man das irgendwie auf eine Normalverteilung zurückführen? Oder wie gehe ich hier vor?

Für die Normalverteilung sollte n * p * q > 9 gegeben sein. Das ist doch hier nicht gegeben.

Nachher kann man die Binomialverteilung für sehr große n und einen Erwartungswert μ mit der Poissonverteilung beschreiben und berechnen.

Das sollst du hier aber nicht machen. Du sollst das ja mit der Binomialverteilung machen.

von 309 k 🚀

Danke dir für die schnelle Antwort.

Ich verstehe die Idee hinter deiner Lösung. Warum hast du die Wahrscheinlichkeit auf Minuten bezogen? Man hätte doch auch Sekunden, Stunden oder Tage nehmen können, oder? Ich frage deswegen, weil immer andere Ergebnisse rauskommen. Gibt es bei solchen Aufgaben irgendeine Art Faustformel um zu bestimmen, auf welche Zeiteinheit man runterbrechen muss?

Wenn du das mal machst, wirst du feststellen das die Ergebnisse gar nicht so verschieden sind. Ich habe diese Werte gewählt, weil du da noch gut in der Lage sein solltest das nachzurechnen.

Hier mit Stunden

∑ (x = 0 bis 2) ((720 über x)·(47/7200)^x·(1 - 47/7200)^(720 - x)) = 0.1514

Du siehst das ungefähr das gleiche heraus kommt.

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