Hilfe: Ist die Prädiktionsmatrix gleich der Einheitsmatrix?

Question

habe gerade ein Problem in Ökonometrie (multivariate Regression mit Matrixnotation):

Wir haben die Projektionsmatrix definiert als P=X(X´X)ˆ(-1)X

M=I-P mit I als Einheitsmatrix

es gilt hier: PX=X (daraus würde ich schließen, dass P=Einheitsmatrix ist)

Somit wäre ja M=Matrix nur mit Nullen.

Später taucht aber M in der Definition des Schätzers b1 und b2 auf

b2=(X₂´M₁X₂)^-1X₂´M₁y

Das verstehe ich überhaupt nicht. Mit M=0 würde b2 ja 0 ergeben was wiederrum keinen Sinn macht. ?

Kürzt sich die Projektionsmatrix nicht automatisch auf die Einheitsmatrix?

Viele grüße

Answer 1

Tja, was soll man bei der Informationlage dazu sagen?

Ich hab mal ein Beispiel in ggb gemacht - upload unter.

https://www.geogebra.org/m/kfcugquk

Vielleicht hilft das weiter?

Answer 2

Aus \( P x = x \) folgt nicht, dass \( P = I \) ist. Nehme als Beispiel \( x = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix} \). Dann gilt $$ P = x (x^t x)^{-1} x^t = \frac{1}{34} \begin{pmatrix} 9 & 15 \\ 15 & 25 \end{pmatrix} \ne I $$ aber \( P x = x \) und damit gilt auch \( M \ne 0 \).

Comments

Danke, hatte mit ein paar Beispielen mal umgerechnet, da ist mir das auch aufgefallen.