Zombies und Schüler: Wie entwickelt sich die Population?

Question

mich beschäftigt folgende Aufgabe:

An der California High School breitet sich eine Zombie-Infektion aus. Jede Stunde verwandeln sich 20% der Schüler in Zombies. Glücklicherweise hat der Science Club ein Gegenmittel entwickelt, wodurch jede Stunde 10% der Zombies wieder geheilt und damit wieder zu Menschen werden. Aktuell sind von den 300 Schülern genau 150 Menschen und 150 Zombies. Auf welches Verhältnis von Schülern zu Zombies wird sich das Gleichgewicht einpendeln?

Danke euch im Voraus für eure Hilfe.

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Interessante Aufgabe mit einer kleinen Falle...

Answer 1

Aloha :)

Im n-ten Schritt ändert sich die Population von Menschen (Humans h) und Zombies (Zombies z) wie folgt:$$h_{n+1}=0,8h_n+0,1z_n$$$$z_{n+1}=0,2h_n+0,9z_n$$Im Gleichgewichtszustand ändern sich $h$ und $z$ nicht mehr: $h:=h_n=h_{n+1}$ und $z:=z_n=z_{n+1}$.

$$\begin{array}{l}h&=&0,8h+0,1z\\z&=&0,2h+0,9z\end{array}\quad\Leftrightarrow\quad\begin{array}{l}0,2h&=&0,1z\\0,1z&=&0,2h\end{array}\quad\Leftrightarrow\quad2h=z$$Im Gleichgewicht haben wir doppelt so viele Zombies wie Menschen, also 200 Zombies und 100 Menschen.

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Danke schön!!!

Answer 2

m_n: Anzahl der Menschen nach n Stunden

z_n: Anzahl der Zombies nach n Stunden.

Es gilt

(1)        m_n+1 = 0,8m_n + 0,1z_n

und

(2)        z_n+1 = 0,2m_n + 0,9z_n.

Auf welches Verhältnis von Schülern zu Zombies wird sich das Gleichgewicht einpendeln?

Wenn es sich einpendelt, dann ist m_n+1 = m_n und z_n+1 = z_n. In den Gleichungen (1) und (2) kann man also m_n+1 = m_n = m und z_n+1 = z_n = z ersetzen und kommt so zu

(3)        m = 0,8m + 0,1z

(4)        z = 0,2m + 0,9z

Aktuell sind von den 300 Schülern

(5)        s + z = 300

Löse das Gleichungssystem bestehend aus den Gleichungen (3), (4), (5).

genau 150 Menschen und 150 Zombies.

Irrelevant, weil die zugrundeliegende Markow-Kette irreduzibel und aperiodisch ist.

Answer 3

Wir haben dafür in der Schule mit Populationsmatrizen gerechnet. Gesucht ist nach einem Fixvektor

$$\begin{pmatrix} 0.8 & 0.1 \\ 0.2 & 0.9 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$$

mit x + y = 1

0.8x + 0.1y = x
0.2x + 0.9y = y
x + y = 1

--

-0.2x + 0.1y = 0
0.2x - 0.1y = 0
x + y = 1

Da die 2. Zeile ein vielfaches der ersten ist, kann sie gestrichen werden.

-0.2x + 0.1y = 0 --> -2x + y = 0
x + y = 1

II - I

3x = 1 → x = 1/3

1/3 + y = 1 → y = 2/3

Im Gleichgewicht hat man 1/3 Schüler und 2/3 Zombies. Das heißt das Verhältnis von Schülern zu Zombies ist dann 1:3.

In Personen also 100 Schüler und 200 Zombies.