Zeige, dass ωk = 0 für alle k≥2 falls p ungerade ist.

Question

Aufgabe:

Sei für k ∈ℕo und ω∈Ω^p(E^m) der k-te Potenz ω^k ∈ Ω^pk(E^m) induktiv durch ω⁰ :=1,

ω^k  := ω^k-1 ∧ ω, k ≥ 1     definiert. 

(1)  Zeige, dass ω^k  = 0 für alle k≥2  falls p ungerade ist.

(2)  Für beliebige ω₁,ω₂ ∈ Ω^p(E^m), k∈ℕo zeige man

( ω₁ + ω₂)^k = \( \sum\limits_{l=0}^{k}{\begin{pmatrix} k\\l \end{pmatrix}} \)ω₁^l ∧ ω₂^k-l

Hinweis: \( \begin{pmatrix} k\\l \end{pmatrix} \) + \( \begin{pmatrix} k\\l-1 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} k+1\\l\end{pmatrix} \)