Beweisen Sie, dass die Funktion f : R → R; x → 3x + 2 sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie,  dass die Funktion f : R → R; x → 3x + 2 sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

Problem/Ansatz:

Wir kommen nicht weiter bei der Surjektivität.. :-/

Comments

Du könntest die Funktion einfach invertieren, daraus folgt die Bijektivität und somit Injektivität und Surjektivität - oder soll es über die Definitionen geschehen?

Answer 1

f : R → R; x → 3x + 2

inj: Zu jedem Funktionswert gibt es genau einen x-Wert. Jeder Funktionswert wird nur einmal angenommen.

f(x)=3x+2 also x=1/3(f(x)-2) und sonst nichts

surj

zu jedem y-Wert aus den R, gibt es einen x-Wert:

Sei y∈ℝ, beliebig, dann gibt es ein x=1/3(y-2), so dass y = f(x)

zur Vertiefung: Guckt euch mal diese Dialoge an!

https://www.mathelounge.de/664423/kann-sehen-eine-abbildung-injektiv-surjektiv-oder-bijektiv

Answer 2

Aloha :)

Wir betrachten die Funktion: \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x+2\).

"surjektiv" bedeutet, dass jedes Element der Wertemenge mindestens 1-mal erreicht wird. Daher wählen wir ein \(y_0\) aus der Wertemenge \(\mathbb{R}\) beliebig (aber fest) und prüfen, ob es ein \(x_0\) aus der Definitionsmenge \(\mathbb{R}\) gibt, das die Forderung \(y_0\stackrel{!}{=}f(x_0)\) erfüllt.$$y_0=3x_0+2\;\;\Leftrightarrow\;\;3x_0=y_0-2\;\;\Leftrightarrow\;\;x_0=\frac{y_0-2}{3}$$Da \(y_0\) beliebig gewählt wurde, gibt es für jedes Element \(y_0\) der Wertemenge ein Element \(x_0\) aus der Definitionsmenge, sodass \(f(x_0)=y_0\) gilt. Die Funktion ist also surjektiv.

"injektiv" bedeutet, dass jedes Element der Wertemenge höchstens 1-mal erreicht wird. Daher nehmen wir an, es gibt zwei Werte \(a,b\) aus der Definitionsmenge \(\mathbb{R}\) mit demselben Funktionswert \(f(a)=f(b)\).$$f(a)=f(b)\;\;\Rightarrow\;\;3a+2=3b+2\;\;\Rightarrow\;\;3a=3b\;\;\Rightarrow\;\;a=b$$Die Funktion ist injektiv.