Beweis: (a+b+c)² <= 3*(a²+b²+c²) mithilfe der Cauchy-Schwarz Ungleichung

Question

Hallo liebe Mathelounge-Community,

Die Aufgabe lautet: Seien a,b,c € R. Beweisen sie mit Hilfe der Cauchy-Schwarz Ungleichung, dass gilt :

(a+b+c)^2 <= 3*(a^2+b^2+c^2)

Ich habe absolut keine Ahnung wie ich an dieses Problem herangehen soll bzw. was mir die Cauchy-Schwarz Ungleichung bringt in dem Kontext, ich bräuchte eine ausführliche Kompletterklärung + Was die Cauchy-Schwarz Ungleichung in Allgemeinen und in diesem Kontext aussagt. Ich hab leider keinen Ansatz.

Ich verstehe die Cauchy-Schwarz Ungleich nur im Bezug auf Vektoren, aber was ist hier a,b,c ?

Vielen Dank im voraus

Answer 1

Wähle vielleicht \(x=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\) und \(y=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\).

Comments

Und wie kommt man auf den Vektor (1,1,1), das verstehe ich nicht?

---

Betrachte die rechte Seite der Ungleichung. Der rechte Faktor entspricht offenbar dem Quadrat der Länge des Vektors x = (a,b,c)^T. Der Faktor 3 legt nahe, als zweiten Vektor y = (1,1,1)^T zu wählen. Es zeigt sich, dass diese Vektoren tatsächlich geeignet sind, die Ungleichung zu zeigen.

Answer 2

Betrachte in R^3 die Vektoren

    a                         1
v=b       und   w =    1
    c                          1

und wende die Ungl. darauf an.

Comments

Aber wieso  w = (1,1,1) ? Wie kommt man darauf?