geg Mittelpunkt einer Strecke, gesuchte Ebene steht senkrecht auf AB. Wie berechne die Koordinatengleichung?

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Punkte a (-2/-2/4)  und B(8/3/-21). Der Punkt M teilt die Strecke AB im Verhältnis 4:1. Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E, die durch M geht und Senkrecht auf AB steht.

Problem/Ansatz:

M habe ich herausgefunden. Aber wie finde ich nun die Koordinatengleichung heraus?

Answer 1

Der Vektor aB ist Normalenvektor der Ebene. Stelle damit die Normalenform auf und wandle diese in Koordinatenform um.

Answer 2

\(M(6|2|-16)\)  Das ist übrigens nicht der Mittelpunkt der Strecke!

\(\vec{n}=\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 10\\5\\-25 \end{pmatrix} \)

Normalenform der Ebenengleichung:

\(\vec{n}\cdot\vec{x}=\vec{n}\cdot\vec{m}\)

\( \begin{pmatrix} 10\\5\\-25 \end{pmatrix} \cdot\vec{x}  = \begin{pmatrix} 10\\5\\-25 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ -16 \end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix} 10\\5\\-25 \end{pmatrix} \cdot\vec{x} = 60+10+400\)

\(10x_1+5x_2-25x_3=470~~~~|:5\)

\(E:~~~2x_1+x_2-5x_3=94\)