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Halli

und zwar bin ich grade dabei ein paar Übungsaufgaben aus dem Internet zu machen und bin auf diese hier gestoßen:


Aufgabe

Gegeben sei die R-wertige Folge (an)n∈N, definiert durch:
a1 := 2, ∀n ∈ N : an+1 := 2 − 1/an (∗).
a) Zeigen Sie, dass für alle n ∈ N gilt: 1 ≤ an ≤ 2.

Lösung
a) Für alle n ∈ N sei A(n) die Aussage 1 ≤ an ≤ 2. Wir zeigen durch vollständige
Induktion nach n ∈ N, dass A(n) wahr ist.
Induktionsanfang: Für n = 1, ist A(1) äquivalent zu 1 ≤ a1 ≤ 2. Da a1 = 2 sind beide
Ungleichungen erfüllt.
Induktionsschritt: A(n) =⇒ A(n + 1)
Induktionsannahme: A(n) ist wahr, d. h. 1 ≤ an ≤ 2.
Behauptung: A(n + 1) ist wahr, d. h. 1 ≤ an+1 ≤ 2.
Beweis: Folgende Implikationen gelten:
1 ≤ an ≤ 2 =⇒1/2 ≤ 1/an ≤ 1 =⇒ −1 ≤ −1/an  ≤ −1/2(∗)=⇒ 1 ≤ an+1 ≤ 3/2=⇒ A(n + 1).


Problem/Ansatz:

Ich versteh den Beweis nicht wie kommt man plötzlich auf die 1/2  ≤ 1/an  ≤ 1 etc. ?

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Das soll bewiesen werden, dies ist Teil der gegebenen Aufgabe:

1/2  ≤ 1/an  ≤ 1

Ind.Anfang: Stimmt es für n=1?

1/2 ≤ 1/2  ≤ 1  stimmt etc.

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