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Aufgabe:

1) Sei V ein R-Vektorraum und f : V → V eine lineare Abbildung mit f ◦ f = f. Zeigen Sie,
dass V = ker(f) ⊕ Bild(f) ist.

2) Geben Sie eine lineare Abbildung g : R²→ R
2 an, für die die Summe ker(g) + Bild(g) nicht
direkt ist.


Leider habe ich hier zu viele Fragen, angefangen bei der Frage, was der Unterschied zwischen einem K und einem R Vektorraum ist. Ebenfalls verstehe ich :"V = ker(f) ⊕ Bild(f)" nicht. Kann mir jemand diese Sachen erklären?

Ich möchte die Aufgabe selbst lösen, habe allerdings die Verständnisprobleme.

Vielen Dank.

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was der Unterschied zwischen einem K und einem R Vektorraum ist.

Für einen Vektorraum benötigt man einen Körper, aus dem die Skalare kommen, mit denen man die Vektoren multiplizieren kann.

In einem K-Vektorraum heißt dieser Körper K.

In einem R-Vektorraum heißt dieser Körper R.

In einem Hiltrud-Vektorraum heißt dieser Körper Hiltrud.

Ebenfalls verstehe ich :"V = ker(f) ⊕ Bild(f)" nicht.

Seien P und Q zwei Vektorräume.

P+Q ist die Menge aller Summen, die man aus einem Element aus P und einem Element aus Q bilden kann. Kurz gesagt, P+Q = {p + q | p∈P ∧ q∈Q}.

Sind P und Q Untervektorräume des gleichen Vektorraumes W, dann ist P+Q ebenfalls Untervektorraum von W.

Kann jedes Element von P+Q nur auf eine einzige Weise als Summe p + q mit p∈P und q∈Q erzeugt werden, dann nennt man P+Q "(innere) direkte Summe von P und Q" und schreibt P⊕Q anstatt P+Q.

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