Polynomfunktion Ableitung induziert Abbildung, geordnete Basen, Smith-Normalform

Question

Aufgabe:

Für eine Polynomfunktion $f \in Pol(\mathbb{R}), f(x) = \sum_{i=0}^{n} a_{i}x^{i}$, heißt $$deg(f):=\begin{cases}max\{k \in \mathbb{N}_{0}|a_{k}\ne0\}&:f \ne 0\\-\infty&:f=0\end{cases}$$ der Grad von $f$.

Zu zeigen/bestimmen:

a) Die Einschränkung der Ableitung induziert eine Abbildung $d: Pol_{n}(\mathbb{R}) \rightarrow Pol_{n}(\mathbb{R})$. Bestimmen Sie auch $D_{\mathfrak{B},\mathfrak{B}}(d)$.

b) Finden Sie geordnete Basen $\mathfrak{C}_{1}, \mathfrak{C}_{2}$ von $Pol_{n}(\mathbb{R})$, sodass $D_{\mathfrak{C}_{1},\mathfrak{C}_{2}}(d)$ Smith-Normalform besitzt.

Kann hier jemand helfen? Bin mir schon beim Ansatz nicht sicher.

Comments

Was ich noch hinzufügen sollte:

Es gab noch folgende Aufgabe, die ich schon gelöst habe:

Zeigen Sie, dass $Pol_{n}(\mathbb{R}) := \{ f \in Pol(\mathbb{R}) \space | \space deg(f) \leq n\} \subseteq Pol(\mathbb{R})$ ein $\mathbb{R}$-Vektorraum ist und bestimmen Sie eine geordnete Basis $\mathfrak{B}$.