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Sei

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ein kommutatives Diagramm von endlichdimensionalen \( K \) -Vektorräumen. Es sei \( \alpha \) ein Isomorphismus. Zeigen Sie, dass gilt \( det(f) = det ( g ) \).

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Da \(\alpha\) ein Automorphismus ist, gilt \(\det(\alpha^{-1})=\det(\alpha)^{-1}\).

Aus der Kommutativität des Diagramms schließt man auf \(g=\alpha\circ f\circ \alpha^{-1}\).

Die Multiplikativität der Determinante liefert dann

\(\det(g)=\det(\alpha)\cdot\det(f)\cdot \det(\alpha)^{-1}=\det(f)\).

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