Kommutatives Diagramm, zeigen, dass det(f)=det(g)

Question

Sei

ein kommutatives Diagramm von endlichdimensionalen \( K \) -Vektorräumen. Es sei \( \alpha \) ein Isomorphismus. Zeigen Sie, dass gilt \( det(f) = det ( g ) \).

Answer 1

Da \(\alpha\) ein Automorphismus ist, gilt \(\det(\alpha^{-1})=\det(\alpha)^{-1}\).

Aus der Kommutativität des Diagramms schließt man auf \(g=\alpha\circ f\circ \alpha^{-1}\).

Die Multiplikativität der Determinante liefert dann

\(\det(g)=\det(\alpha)\cdot\det(f)\cdot \det(\alpha)^{-1}=\det(f)\).