Umkehrabbildung Identität beweisen: arcsin(x) + arccos(x) = π / 2

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie folgende Identität mithilfe des Satzes über die Ableitung der Umkehrfunktion und des Konstanzkriteriums für alle zulässigen \( x \in \mathbb{R}: \)
$$ \arcsin (x)+\arccos (x)=\frac{\pi}{2}$$

Problem/Ansatz: Habe hier leider keinen Ansatz. Ich verstehe die Aufgabe nicht, wie ich hier die Umkehrabbildung von dieser Gleichung bilde und auch nicht mithilfe des Konstanzkriteriums.

Answer 1

\(\sin^2x+\cos^2x=1\)

Also \(\sin x = \sqrt{1-\cos^2x}\quad \cos x = \sqrt{1-\sin^2x}\)

Umkehrregel:

\(f'(x)=\dfrac{1}{(f^{-1})'(y)}\)

\(f_1(x)=y=\arcsin x \Rightarrow f_1^{-1}(y)=\sin y\)

            \( \Rightarrow f_1'(x)=\dfrac{1}{\cos y}=\dfrac{1}{\cos (\arcsin x)}=\dfrac{1}{\sqrt{1-\sin^2(\arcsin x)}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)

\(f_2(x)=y=\arccos x \Rightarrow f_2^{-1}(y)=\cos y\)

            \( \Rightarrow f_2'(x)=\dfrac{1}{-\sin y}=\dfrac{1}{-\sin (\arccos x)} =\dfrac{1}{-\sqrt{1-\cos^2(\arccos x)}}=\dfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}} \)

\(f_1'(x)+f_2'(x)=0\), also ist die gegebene Summe konstant.

Mit \(\arcsin{0}+\arccos{0}=0+\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi}{2}\) ist die gegebene Identität nachgewiesen.

Answer 2

Hallo

leite die Summe ab, und du stellst fest dass sie =0 ist für alle x: deshalb muss diese Summenfunktion konstant sein. Den Wert der Konstanten kannst du z. B, bestimmen indem du x=0 einsetzt. oder einen anderen Wert wie x=1

Gruß lul