Lineare Gleichungssysteme (Ebene im Raum)

Question

Aufgabe:

Stelle fest ob die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems eine Ebene im Raum ist.

Problem/Ansatz:

I: x - 4y - 5z = 1

II: 2x - 8y - 10z = 2

III: 3x - 12y - 15z = 3

Kann mir bitte jemand helfen wie ich das erkenne, dass es eine Ebene ist?

Answer 1

Man sieht, dass II das Doppelte von I und III das Dreifache von I ist.

D.h. es ist nicht ein LGS mit drei Gleichungen und drei Unbekannten (was aufgelöst die Koordinaten eines Punktes ergeben würde), sondern im Wesentlichen eine einzige Gleichung mit drei Unbekannten (d.h. Ebene).

Answer 2

Gleichung I beschreibt eine Ebene in Koordinatenform.

Die anderen Gleichungen beschreiben dieselbe Ebene. Das siehst du, wenn du II:2 und III:3 dividierst.