Abgeschlossene Mengen beweisen

Question

Aufgabe:

Für jede Folge (C_n)_n∈ℕ von abgeschlossenen Teilmengen der reellen Zahlen ist ∩_n∈ℕ C_n ebenfalls abgeschlosen.

Problem/Ansatz:

Ist das wahr oder faslch? Wie beweise ich das?

Answer 1

(Bekannt: Die Vereinigung offener Mengen ist wieder offen ist. Abgeschlossen heißt: das Komplement ist offen.)

Seien C_n, n∈ℕ  abgeschlossene Teilmengen. Dann: komp(C_n), n∈ℕ  offene Teilmengen.

Dann ∪ komp(C_n), n∈ℕ   offen. dann komp(∪ komp(C_n)), n∈ℕ abgeschlossen.

komp(∪ komp(C_n)), n∈ℕ = ∩ komp (komp(C_n)), n∈ℕ = ∩ (C_n), n∈ℕ abgeschlossen