Hallo,
die Aufgabe ist natürlich ziemlich komplex. Ich gehe mal die Punkte durch.
Wenn N nicht diskret ist, dann bedeutet das, dass es einen Häufungspunkt a gibt, der in N liegt. Also, es gibt einen Punkt a in N, in dem sich die Nullstellen von f häufen.
1. Dieser Punkt ist Kandidat, um zu zeigen, dass M nicht-leer ist. Denn wenn a nicht in M liegt, gibt es ein kleinstes n mit f(n)(a)=0. Dann haben wir folgende Darstellung (da f analytisch ist):
f(x)=k=n∑∞k!f(k)(a)(x−a)k=(x−a)n[n!f(n)(a)+(x−a)k=n+1∑∞k!f(k)(a)(x−a)(k−n−1)]
Man erkennt: f hat in einer Umgebung von a keine weiteren Nullstellen; denn der Vorfaktor hat keine, der erste Summand in [...] ist nicht 0, der zweite Summan lässt sich wegen des Faktors (x-a) absolut kleiner machen als der erste Summand ... Also häufen sich bei a die Nullstellen nicht, wenn a nicht in M liegt.
2. M ist offen: Wenn b irgendein Punkt in M ist, dass ist f in einer Umgebung U(b) als Taylorreihe darstellbar. Diese ist aber die Null-Reihe für b aus M. Daher ist f(x)=0∀x∈U(b). Dann sind dort auch alle Ableitungen 0.
3. M ist abgeschlossen; denn
M=k=0⋂∞Mk,Mk : ={x∈I∣f(k)(x)=0}
Jedes M_k ist abgeschlossen wegen der Stetigkeit von f(k), also auch M
4. In R gibt es keine Menge, die abgeschlossen und offen ist - außer die leere Menge und der ganze Raum. Daher ist M=I.
Gruß Mathhilf