Offene und abgeschlossene Mengen Mehrdimensionale analysis

Question

Aufgabe:

…

Problem/Ansatz: Ich sitze jetzt schon seit 1 Stunde dran und komme irgendwie nicht so richtig weiter. Hat jemand eine Idee? Wäre für jede Hilfe dankbar!

Text erkannt:

Sei \( I \subseteq \mathbb{R} \) ein offenes Intervall. Eine Funktion \( f: I \rightarrow \mathbb{R} \) heißt analytisch, wenn für jedes \( x \in I \) ein \( \varepsilon>0 \) existiert, sodass \( f \) auf \( (x-\varepsilon, x+\varepsilon) \subset I \) als Taylorreihe mit Entwicklungspunkt \( x \) dargestellt werden kann. Eine Menge \( A \subset \mathbb{R} \) heißt diskret, wenn für alle \( x \in A \) gilt \( x \notin \overline{A \backslash\{x\}} \).
Sei \( f: I \rightarrow \mathbb{R} \) eine analytische Funktion. Zeigen Sie, wenn \( N:=\{x \in I: f(x)=0\} \) nicht diskret ist, dann ist \( f=0 \).
Hinweis: Betrachten Sie die Menge \( M:=\left\{x \in I: f^{(k)}(x)=0\right. \) für alle \( \left.k \in \mathbb{N}_{0}\right\} \). Zeigen Sie, dass diese nicht-leer, offen und abgeschlossen in \( I \) ist. Folgern Sie daraus \( M=I \) und \( f \equiv 0 \).

Answer 1

Hallo,

die Aufgabe ist natürlich ziemlich komplex. Ich gehe mal die Punkte durch.

Wenn N nicht diskret ist, dann bedeutet das, dass es einen Häufungspunkt a gibt, der in N liegt. Also, es gibt einen Punkt a in N, in dem sich die Nullstellen von f häufen.

1. Dieser Punkt ist Kandidat, um zu zeigen, dass M nicht-leer ist. Denn wenn a nicht in M liegt, gibt es ein kleinstes n mit \(f^{(n)}(a) \neq 0 \). Dann haben wir folgende Darstellung (da f analytisch ist):

$$f(x)=\sum_{k=n}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k=(x-a)^n\left[ \frac{f^{(n)}(a)}{n!}+ (x-a)\sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{(k-n-1)}\right]$$

Man erkennt: f hat in einer Umgebung von a keine weiteren Nullstellen; denn der Vorfaktor hat keine, der erste Summand in [...] ist nicht 0, der zweite Summan lässt sich wegen des Faktors (x-a) absolut kleiner machen als der erste Summand ... Also häufen sich bei a die Nullstellen nicht, wenn a nicht in M liegt.

2. M ist offen: Wenn b irgendein Punkt in M ist, dass ist f in einer Umgebung U(b) als Taylorreihe darstellbar. Diese ist aber die Null-Reihe für b aus M. Daher ist \(f(x)=0 \forall x \in U(b)\). Dann sind dort auch alle Ableitungen 0.

3. M ist abgeschlossen; denn

$$M=\bigcap_{k=0}^{\infty}M_k, \quad M_k:=\{x \in I \mid f^{(k)}(x)=0\}$$

Jedes M_k ist abgeschlossen wegen der Stetigkeit von \(f^{(k)}\), also auch M

4. In \(\mathbb{R}\) gibt es keine Menge, die abgeschlossen und offen ist - außer die leere Menge und der ganze Raum. Daher ist M=I.

Gruß Mathhilf