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Aufgabe:


Problem/Ansatz: Ich sitze jetzt schon seit 1 Stunde dran und komme irgendwie nicht so richtig weiter. Hat jemand eine Idee? Wäre für jede Hilfe dankbar!E19B96F9-04F5-49E6-B7CA-830D14DA639A.jpeg

Text erkannt:

Sei IR I \subseteq \mathbb{R} ein offenes Intervall. Eine Funktion f : IR f: I \rightarrow \mathbb{R} heißt analytisch, wenn für jedes xI x \in I ein ε>0 \varepsilon>0 existiert, sodass f f auf (xε,x+ε)I (x-\varepsilon, x+\varepsilon) \subset I als Taylorreihe mit Entwicklungspunkt x x dargestellt werden kann. Eine Menge AR A \subset \mathbb{R} heißt diskret, wenn für alle xA x \in A gilt xA\{x} x \notin \overline{A \backslash\{x\}} .
Sei f : IR f: I \rightarrow \mathbb{R} eine analytische Funktion. Zeigen Sie, wenn N : ={xI : f(x)=0} N:=\{x \in I: f(x)=0\} nicht diskret ist, dann ist f=0 f=0 .
Hinweis: Betrachten Sie die Menge M : ={xI : f(k)(x)=0 M:=\left\{x \in I: f^{(k)}(x)=0\right. für alle kN0} \left.k \in \mathbb{N}_{0}\right\} . Zeigen Sie, dass diese nicht-leer, offen und abgeschlossen in I I ist. Folgern Sie daraus M=I M=I und f0 f \equiv 0 .

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Hallo,

die Aufgabe ist natürlich ziemlich komplex. Ich gehe mal die Punkte durch.

Wenn N nicht diskret ist, dann bedeutet das, dass es einen Häufungspunkt a gibt, der in N liegt. Also, es gibt einen Punkt a in N, in dem sich die Nullstellen von f häufen.

1. Dieser Punkt ist Kandidat, um zu zeigen, dass M nicht-leer ist. Denn wenn a nicht in M liegt, gibt es ein kleinstes n mit f(n)(a)0f^{(n)}(a) \neq 0 . Dann haben wir folgende Darstellung (da f analytisch ist):

f(x)=k=nf(k)(a)k!(xa)k=(xa)n[f(n)(a)n!+(xa)k=n+1f(k)(a)k!(xa)(kn1)]f(x)=\sum_{k=n}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k=(x-a)^n\left[ \frac{f^{(n)}(a)}{n!}+ (x-a)\sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{(k-n-1)}\right]

Man erkennt: f hat in einer Umgebung von a keine weiteren Nullstellen; denn der Vorfaktor hat keine, der erste Summand in [...] ist nicht 0, der zweite Summan lässt sich wegen des Faktors (x-a) absolut kleiner machen als der erste Summand ... Also häufen sich bei a die Nullstellen nicht, wenn a nicht in M liegt.

2. M ist offen: Wenn b irgendein Punkt in M ist, dass ist f in einer Umgebung U(b) als Taylorreihe darstellbar. Diese ist aber die Null-Reihe für b aus M. Daher ist f(x)=0xU(b)f(x)=0 \forall x \in U(b). Dann sind dort auch alle Ableitungen 0.

3. M ist abgeschlossen; denn

M=k=0Mk,Mk : ={xIf(k)(x)=0}M=\bigcap_{k=0}^{\infty}M_k, \quad M_k:=\{x \in I \mid f^{(k)}(x)=0\}

Jedes M_k ist abgeschlossen wegen der Stetigkeit von f(k)f^{(k)}, also auch M

4. In R\mathbb{R} gibt es keine Menge, die abgeschlossen und offen ist - außer die leere Menge und der ganze Raum. Daher ist M=I.

Gruß Mathhilf

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