Für welche Werte von a ist das inhomogene LGS über Q lösbar, für welche Werte von a ist es unlösbar?

Question

Aufgabe

Sei a ∈ Q eine beliebige Konstante. Für welche Werte von a ist das folgende inhomogene lineare Gleichungssystem über Q lösbar, für welche Werte von a ist es unlösbar?

\( \begin{aligned} x_{1}+3 x_{2}+2 x_{3} &=1 \\ 3 x_{1}+5 x_{2}-2 x_{3} &=-3 \\-x_{1}+(a-3) x_{2}+2 x_{3} &=1 \end{aligned} \)

Problem/Ansatz

Ich habe zuerst die Zeilenstufenform gebildet und es dann mit einer Fallunterscheidung probiert, hab aber keine Ahnung, ob ich damit auf dem richtigen Weg bin. Bei der Fallunterscheidung bleibe ich momentan hängen.

Ich hoffe, dass mir jemand einen Tipp geben kann. :)

Answer 1

Wenn das LGS lösbar ist, dann lautet die Lösung

        x₁ = (14-a)/(4a-8),

        x₂ = -3/(2a-4),

        x₃ = (9a-12)/(8a-16).

Das bekommt man durch elementare Zeilenumformungen hin.

dann mit einer Fallunterscheidung

Ist a = 2, dann ist das LGS nicht lösbar. Ist a ≠ 2, dann ist das LGS eindeutig lösbar.