Ich habe folgende Definition einer stationären Quelle:
Eine unendliche Folge \(X_1, X_2, \ldots\) von Zufalssvariabeln heisst statinäre Quelle genau dann, wenn für alle m,n \(\in \mathbb{N}\) die gemeinsamen Verteilung von \(X_1, \ldots, X_n\) und \(X_{m+1}, \ldots, X_{m+n}\) übereinstimmen.
Ich möchte nun zeigen, dass wenn \(X_1, X_2, \ldots\) eine stationäre Quelle ist folgendes gilt:
\(H(X_1, \ldots, X_{n-1}|X_n)=H(X_n, \ldots, X_{2}|X_1)\)
Zum Beweis
Zuerst benutze ich die Kettenregel um die bedingt Entropie zu entfernen und erhalte
\(H(X_1, \ldots, X_{n-1}|X_n)=H(X_1, \ldots, X_n)-H(X_n)\) und
\(H(X_n, \ldots, X_{2}|X_1)=H(X_1, \ldots, X_n)-H(X_1)\)
Wie bringe ich jetzt die Stationärität mit ein? Kann ich einfach sagen, dass wegen der Stationärität \(X_1\) und \(X_n\) die gleiche Verteilung haben? Ich muss ja irgendwie zeigen, dass diese beiden die gleiche Verteilung haben oder bin ich da auf dem falschen Weg?
