Aufgabe:
Mittels Trapezregel soll die Funktion näherungsweise gelöst werden und der Fehler abgeschätzt werden.
Problem/Ansatz:
\( f(x) = \sqrt{2-x^2} \) im Intervall 0 bis 1
Der 'exakte' Wert dieses Integrals wird ermittelt:
\( \int_{0}^{1} \sqrt{2-x^2} = arcsin(\frac{x}{\sqrt{2}})+\frac{x * \sqrt{2-x^2}}{\sqrt{2}} = \frac{\pi+2}{2} \approx 1,28539 \)
Mittels Trapezregel komme ich nun auf:
\( \int_{0}^{1} \sqrt{2-x^2} \approx \frac{1}{2}\sqrt{2}+\frac{1}{2} \approx 1,207106 \)
Nun zur Fehlerabschätzung, dort erhalte ich mit der Formel:
\( E(f) \leq (b-a)\frac{h^2}{12} \max\limits_{a\leq x \leq b} | f^{(3)} | \\ \leq \frac{1}{12}(-\frac{1}{\sqrt{2}}) \)
Die Schrittweite h = 1.
Kann es eine negative Fehlerabschätzung geben?
Meine Interpretation dieses Ergebnisses ist, dass der ermittelte Werte durch Trapezregel zu hoch ist, somit ein 'negativer' Fehler vorliegt.
Kann mir jemand bei der Validierung behilflich sein?
