Wie beweist man, dass a < b folgt a^n < b^n?

Question

Aufgabe:

$$ a  \lt b \Longrightarrow a^n \lt b^n \text{,für a,b}\in\mathbb{R}^{\gt 0}  $$

Problem/Ansatz:

Hätte jemand einen Ansatz wie man sowas beweist?

Die Aufgabe kommt aus dem Kapitel, indem "Vollständige Induktion" das Thema ist.

Angenommen, es sollte mit der Vollständigen Induktion bewiesen werden, wie würde der Induktionsschritt dann aus?

Danke im Vorraus, meine Damen und Herren!

Comments

Sollte es \(a<b\Longrightarrow a^n<b^n\) heißen? Sonst macht Induktion keinen Sinn.

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Ups, ja Fehler meinerseits :D Habs korrigiert.

Wie würde man es denn mittels Vollständige Induktion machen ?

Answer 1

Die Ordnung auf den reellen Zahlen ist verträglich mit der Multiplikation. Das heißt sind a,b,c > 0, dann gilt

(1)        a < b ⇒ ac < bc.

Wählt man c = a in (1), dann gilt auch

(2)        a < b ⇒ a² < ba.

Wählt man c = b in (1), dann gilt auch

(3)        a < b ⇒ ab < b².

Also folgt aus (2) und (3) wegen des Kommutativgesetzes der Multiplikation

(4)        a < b ⇒ a² < ba = ab < b².

Wegen der Transitivität von < folgt aus (4)

        a < b ⇒ a² < b².

Angenommen, es sollte mit der Vollständigen Induktion bewiesen werden,

Angesichts der Tatsache, dass du jetzt die Behauptung auf a < b ⇒ aⁿ < bⁿ geändert hast, kannst du eine ähnliche wie die von mir dargelegte Argumentation für den Induktionsschritt verwenden.

Answer 2

aus a < b folgt
( x ist die Differenz zwischen a und b, x ist wie a und b positiv )
a + x = b
a < a + x | quadrieren
a^2 < a^2 + 2xa + x^2
0 < 2xa + x^2 stimmt stets für
alle n