Aufgabe: Lineare Algebra 1
gegeben Diagramm ε von k-VRen V1,...,Vn und linearen Abbildungen dk:
d0 d1 d2...dn-1 dn
ε: {0}→V1→V2→...→ Vn→{0}
a) Man nennt ε einen Kokettenkomplex, falls dk°dk-1=0 für alle k∈{1,...,n} gilt.
zeigen sie, dass ε genau dann ein kokettenkomplex ist, wenn im(dk-1)⊂ker(dk) für alle k∈{1,...,n} gilt.
b) Sei nun ε ein Kokettenkomplex. Für k∈{1,...,n} definiert man die k-te Kohomologie von ε durch
H^k(ε):= ker(dk)/im(dk-1)
Nach Teilaufgabe a) sind die H^k(ε) wohldefiniert.
Zeigen sie: Sind alle Vk endl.-dim., dann gilt
\( \sum\limits_{k=1}^{n}{(-1)^kdim(H^k(ε))} \) =\( \sum\limits_{k=1}^{n}{(-1)^kdim(Vk)} \)
Problem/Ansatz:
In der Vorlesung haben wir zwar definiert was ein Komplex ist,
aber leider kapier ich überhaupt nichts.
