Schütteltest fällt positiv aus. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sitzt trotzdem kein Schlumpf im Ei?

Question

Aufgabe:

Sie verfügen bereits über eine ansehnliche Sammlung an “Überraschungsei-Figuren”, hätten aber noch gerne einen Schlumpf. Sie wissen, dass leider in nur jedem fünften Überraschungsei ein Schlumpf sitzt. Um mehr Gewissheit zu haben, führen Sie daher vor dem Kauf den von Ihnen eigens dafür entwickelten Schütteltest durch. Befindet sich ein Schlumpf im Ei, bestätigt dies der Test mit einer Wahrscheinlichkeit von 82%. Ist kein Schlumpf im Ei, fällt der Test zu 89% negativ aus.

Der Schütteltest fällt positiv aus. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sitzt trotzdem kein Schlumpf im Ei?

(Bitte geben Sie das Ergebnis in Prozent an.)

Problem/Ansatz:

Ich würde sagen, dass das Ergebnis 18 % ist, aber das kann nicht sein, hoffe es kann mir jemand helfen.

LG

Answer 1

Aloha :)

Wir holen uns alle Informationen aus dem Text und tragen sie in eine 4-Felder-Tafel ein:

	Schlumpf im Ei	Mist im Ei
Test positiv	\(82\%\cdot20\)
Test negativ		\(89\%\cdot80\)
	\(20\)	\(80\)	\(100\)

Jetzt können wir die fehlenden Werte durch Addition / Subtraktion berechnen:

	Schlumpf im Ei	Mist im Ei
Test positiv	\(16,4\)	\(8,8\)	\(25,2\)
Test negativ	\(3,6\)	\(71,2\)	\(74,8\)
	\(20\)	\(80\)	\(100\)

Der Schütteltest fällt positiv aus, das passiert bei \(25,2\) Eiern, davon ist bei \(8,8\) Eiern kein Schlumpf zu finden. Die Wahrscheinlichkeit, dass trotz positiven Tests kein Schlumpf im Ei ist, beträgt:$$p=\frac{8,8}{25,2}=34,92\%$$