Funktionenraum Dimension und Basis bestimmen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Dimension und eine Basis für den \( \mathbb Q \)- Vektorraum \( V = Abb(M, \mathbb Q) \) der Abbildungen von einer Menge M={a, b, c} in \( \mathbb Q \).

Könnt ihr mir bitte helfen? Habe leider gar keine Idee

Answer 1

Den ℚ-Vektorraum ℚ⁵ kann man auffassen als Vektorraum der Abbildungen von {1, 2, 3, 4, 5} nach ℚ. Der Vektor (p, q, r, s, t)^T entspricht dann der Abbildung f: {1, 2, 3, 4, 5}→ℚ mit

• f(1) = p
• f(2) = q
  
• f(3) = r
• f(4) = s
• f(5) = t.

Deine Aufgabe geht genau in die andere Richtung.

Comments

Also in meinem Fall würde der Vektor (1,2,3)^T dann eine Funktion beschreiben mit

f(a)=1, f(b)=2 und f(c)=3 ?

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So sieht's aus.

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Cool beans. Wäre eine Basis dann nicht einfach f, g und h mit

f(a) = 1, und f(b) = f(c) = 0,

g(a) = g(c) = 0 und g(b) = 1

h(a)=h(b)=0 und h(c)=1

?

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Ja, das ist eine Basis von V.

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Okay, damit ist dim V = 3.  Danke, oswald, mein Freund!