Aufgabe:
Ich möchte die Goodstein-Elemente für den Startwert 5 berechnen. Leider weiß ich ab dem achten Schritt nicht mehr, wie ich die Subtraktion mit 1 als Potenz darstellen muss, um das korrekte Ergebnis zu erhalten.
Problem/Ansatz:
\( \mathrm{g}_{0}(5)=2^{2}+2^{0}=5 \)
\( g_{1}(5)=\left(3^{3}+3^{0}\right)-1=28-1=27 \)
\( \mathrm{g}_{1}(5)=3^{3}=27 \)
\( \mathrm{g}_{2}(5)=4^{4}-1=256-1=255 \)
\( \mathrm{g}_{2}(5)=3 * 4^{3}+3 * 4^{2}+3 * 4^{1}+3 * 4^{0}=255 \)
\( \mathrm{g}_{3}(5)=\left(3 * 5^{3}+3 * 5^{2}+3 * 5^{1}+3 * 5^{0}\right)-1=468-1=467 \)
\( \mathrm{g}_{3}(5)=\left(3 * 5^{3}+3 * 5^{2}+3 * 5^{1}+2\right)=467 \)
\( g_{4}(5)=\left(3 * 6^{3}+3 * 6^{2}+3 * 6^{1}+2\right)-1=776-1=775 \)
\( \mathrm{g}_{4}(5)=\left(3 * 6^{3}+3 * 6^{2}+3 * 6^{1}+1\right)=775 \)
\( \mathrm{g}_{5}(5)=\left(3 * 7^{3}+3 * 7^{2}+3 * 7^{1}+1\right)-1=1198-1=1197 \)
\( \mathrm{g}_{5}(5)=\left(3 * 7^{3}+3 * 7^{2}+3 * 7^{1}\right)=1197 \)
\( \mathrm{g}_{6}(5)=\left(3 * 8^{3}+3 * 8^{2}+3 * 8^{1}\right)-1=1752-1=1751 \)
\( \mathrm{g}_{6}(5)=\left(3 * 8^{3}+3 * 8^{2}+\color{#00F}{23}\right)=1751 \)
\( \mathrm{g}_{7}(5)=\left(3 * 9^{3}+3 * 9^{2}+23\right)=2453-1=2452 \)
Ich denke, die 23 in g6 muss anders dargestellt werden, nämlich durch eine Potenz, so dass auch in g7 das richtige Ergebnis (2454) herauskommt.
Hier sind die Ergebniswerte für das Startelement 5:
\( g_{0}(5)=5 \)
\( g_{1}(5)=27 \)
\( g_{2}(5)=255 \)
\( g_{3}(5)=467 \)
\( g_{4}(5)=775 \)
\( g_{5}(5)=1197 \)
\( g_{6}(5)=1751 \)
\( g_{7}(5)=2454 \)
\( g_{8}(5)=3325 \)
\( \begin{aligned} g_{9}(5) &=4382 \\ g_{10}(5) &=5643 \\ g_{11}(5) &=7126 \end{aligned} \)
