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Aufgabe:

$$\text { Gibt es auf einem der Banachräume } L^{1}(\mathbb{R}) \text { oder } L^{\infty}(\mathbb{R}) \text { ein Skalarprodukt? }$$


Problem/Ansatz:

Ich habe hier ein Verständnisproblem. Ein Hilbertraum ist ja ein Banachraum, dessen Norm durch ein Skalarprodukt induziert ist. Warum sollte es auf dem L^1 kein Skalarprodukt geben? Anders gefragt: Ist der L^1 ein Hilbertraum und wenn ja, wie zeige ich das?

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