Rekonstruktion einer Funktion 3. Grades mit Integralen und Wendetangenten

Question

Aufgabe: Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades besitzt im Punkt (1/0) einen Wendepunkt. Die Tangente im Wendepunkt P hat die Steigung m= -4. Das bestimmte Integral der Funktion über dem Intervall[1;3] hat den Wert -4.

Stellen sie die Funktionsgleichung auf und zeigen Sie damit, dass die Funktion zur Funktionenschar: f_t x -> x³   - tx² - x + t

Problem/Ansatz:

Ich stehe gerade vollkommen auf dem Schlauch. Ich erinnere mich an einzelne Teilschritte von Funktionsrekonstruktionen, jedoch weiß ich echt nicht was ich mit der Steigung des Wendepunktes und dem Intervall anfangen soll. Bisher konnte ich nur die normalform eines Polynom 3. Grades und dessen Ableitungen aufstellen und die Koordinaten des ersten Punktes feststellen. Jedoch weiß ich überhaupt nicht wie sich aus dieser Aufgabenstellung eine Funktion formulieren lässt.

Ich freue mich über jede Art von Hilfe :) 

Answer 1

Hallo,

als Funktion hast du:

f(x) = ax^3 + bx^2 +cx + d

Also brauchst du 4 Bedingungen, um die Funktion zu rekonstruieren.

Aus Wendepunkt P(1|0) bekommst du:

f(1) = 0

f''(1) = 0

Da man einmal den Punkt hat und die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist, dass die zweite Ableitung 0 ist.

Die Steigung m = -4 im Punkt P.

Da die Steigung gleich der ersten Ableitung ist, gilt:

f'(1) = -4

Die letzte Bedingung ist das bestimmte Integral:

$$ -4=\int\limits_{1}^{3}(ax^3 +bx^2+cx+d) \\-4= [\frac{1}{4}ax^4+\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2+dx]_{1}^{3}$$ 

Die ersten 3 Bedingungen setzt du jeweils in die Funktion ein, bzw. in die erste oder zweite Ableitung und das Integral löst du noch weiter auf. Dann hast du ein lineares Gleichungssystem.

Gruß

Comments

Danke Erstmal Smitty, das hilft mir schonmal definitiv weiter. Trotzdem fällt mir das weitermachen extrem schwer. Ich weiß, ihr wollt uns Schüler eher um denken ankurbeln als uns die Lösungen zu präsentieren, jedoch bin ich mir im ganzen Thema nicht allzu sicher: 

Soll Ich jetzt versuchen ein LGS aufzubauen? Soll ich zuerst das Integral weiter auflösen oder zuerst die Bedingungen erfüllen? Was mache ich nachdem ich die 4 Bausteine eingesetzt habe?

Sorry für die Nachfrage, jedoch basiert der Unterricht der nächsten Monate auf diesem Stoff und da will ich ungern im dunklen herumtasten.

MfG, Gavin

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bin auch noch Schüler :)

Also wenn du das Integral weiter auflöst, also die Klammer in der letzten Zeile, erhältst du:

$$-4 = \frac{1}{4}a\cdot 3^4+\frac{1}{3}\cdot 3^3+\frac{1}{2}\cdot 3^2+d\cdot 3 - \frac{1}{4}a+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+d\\$$

Wenn du das weiter vereinfachst, hast du deine erste Gleichung

Nun setzt man f(1) = 0 in die Funktion ein, also:

$$a\cdot 1^3 +b\cdot 1^2 +c \cdot 1 +d = 0$$

Das ist deine zweite Gleichung.

Das gleiche machst du mit den anderen beiden Bedingungen.

Dafür musst du f(x) = ax^3 +bx^2+cx +d noch ableiten.