lokale Extrema berechnen mit a

Question

Aufgabe: Ermitteln Sie die lokalen Extrema der Funktion:

g(x) = x^2(a-x^2)

g'(x) = 2ax - 4x^3

g''(x) = 2a - 12x^2

Ich habe bis jetzt raus:

x₁ = 0

x₂ = \( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{2}} \)

x₃ = -\( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{2}} \)

Nun in die zweite Ableitung einsetzen:

g''(0) = 2a

g''( \( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{2}} \)) = -4a

g''(- \( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{2}} \)) = 8a

Problem:

Woher weiß ich jetzt genau, ob das ein Hochpunkt/Tiefpunkt ist und wie mache ich dann weiter?

Schon mal danke für die Antworten!

Answer 1

Hallo,

Es gilt allgemein:

Ist f' '' (x_e) <0  ------->Hochpunkt

Ist f' '' (x_e) >0  ------->Tiefpunkt

Answer 2

Woher weiß ich jetzt genau, ob das ein Hochpunkt/Tiefpunkt ist

So wie sonst auch immer:

Wenn g''(x_i) > 0 ist, dann ist bei x_i ein Tiefpunkt

Wenn g''(xi) < 0 ist, dann ist bei x_i ein Hochpunkt

Wenn g''(xi) = 0 ist, dann muss man sich ein anderes Kriterium heruassuchen, um zu bestimmen, ob es sich um einen Hochpunkt, Tiefpunkt oder keine von beiden handelt.

Schau mal nach, ob du in der Aufgabenstellung etwas genaueres über a erfahren kannst.

Answer 3

Hallo

bisher ist  fast alles richtig, aber du hast x1 und x1 falsch Eingesetz. g''(x1)=g''(x2) beide kleiner 0 deshalb sind da Maxima, bei 0 ein Minimum

g'=0 und g'' negativ, heisst die Steigung von g' ist negativ, d,h, g' ist links von x1 positiv, rechts davon negativ, also ist da ein Max, die Funktion geht von wachsen in fallend über.

(da nur gerade Potenzen vorkommen ist f(x) symmetrisch zur y- Achse, daran allein sieht man dass deine 2 verschiedenen g'' falsch sind )

Gruß lul

Answer 4

a muss positiv oder Null sein, da sonst die Wurzeln nicht existieren.

Wenn a=0 ist, fallen alle Extrema zusammen. Bei x=0 ist dann ein Maximum.

Für positive Werte von a ist bei x=0 ein Minimum, da 2a>0 ist. Bei x2 und x3 liegen Maxima vor. Allerdings ist g''(x3) =-4a.