Erwartungswert der geometrischen Verteilung - Herleitung

Question

Aufgabe:

Ich versuche den Erwartungswert der geometrischen Verteilung Schritt für Schritt herzuleiten, aber komme leider bei dem letzten Schritt nicht weiter.

Problem/Ansatz:

\( \mathrm{E}(X)=\sum \limits_{k=1}^{\infty} k p(1-p)^{k-1}=\sum \limits_{k=0}^{\infty}(k+1) p(1-p)^{k}=\sum \limits_{k=0}^{\infty} k p(1-p)^{k}+\sum \limits_{k=1}^{\infty} p(1-p)^{k-1}=(1-p) \mathrm{E}(X)+1 \)

\( \Rightarrow \mathrm{E}(X)=\frac{1}{p} \)

Ich komme bis zum vorletzten Schritt, also ich kann soweit umformen, sodass ich auch auf (1-p) E(X) +1 komme, aber wie hat man bitte umgeformt, um auf E(X) = 1/p zu kommen? Da komme ich leider nicht weiter.

Answer 1

E(X)=... =(1-p) E(X) +1 steht da.  I -(1-p) E(X) auf beiden Seiten!

E(X)-(1-p) E(X) =1

E(X)(1-1+p)=1

E(X)=1/p, p≠0

Comments

Ich danke Ihnen vielmals! Genau das war mein Fehler, ich habe nicht beachtet, dass auf beiden Seiten E(X) steht!