Zeigen Sie: Sind f : X → Y und g : Y → Z injektiv, so ist auch g ◦ f : X → Z injektiv.

Question

Und zwar soll ich folgende beiden Aufgaben lösen. Die erste habe ich selber gelöst bekommen. bei der zweiten hänge ich aber. Vielleicht kann mir ja jemand von euch helfen.

1.) Zeigen Sie: Sind f : X → Y und g : Y → Z injektiv, so ist auch g ◦ f : X → Z
injektiv.

2.) Gilt in 1) auch die Umkehrung?
Falls ja, geben Sie eine Begründung an.
Falls nein, finden Sie ein Gegenbeispiel.

zu zweitens habe ich mir bisher folgendes überlegt.

Sei g ° f injektiv. Ist f(x₁) = f(x₂), so ist auch g ° f(x1) = g ° f(x2) und dann x₁ = x₂. Also ist f injektiv.

Gilt nun jetzt aber die Umkehrung? ich weiß ja nicht ob g injektiv ist oder nicht.

Answer 1

Aloha :)

Da $f:X\to Y$ und $g:Y\to Z$ beide injektiv sind, gilt:$$g(f(x_1))=g(f(x_2))\;\;\stackrel{g\;\;inj.}{\Rightarrow}\;\;f(x_1)=f(x_2)\;\;\stackrel{f\;\;inj.}{\Rightarrow}\;\;x_1=x_2$$Also ist $(g\circ f):X\to Z$ ebenfalls injektiv.

Die Umkehrung gilt jedoch nicht, wie das folgende Beispiel zeigt:$$f:\mathbb{R^{\ge0}}\to\mathbb{R}\,,\,f(x)=x$$$$g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\,,\,g(x)=x^2$$$$h:\mathbb{R^{\ge0}}\to\mathbb{R}\,,\,h(x)=(g\circ f)(x)=x^2$$Man sieht schnell, dass $h=g\circ f$ injektiv ist:$$h(x_1)=h(x_2)\;\;\Rightarrow\;\;x_1^2=x_2^2\;\;\stackrel{x\in\mathbb{R^{\ge0}}}\Rightarrow\;\;x_1=x_2$$aber $g$ ist nicht injektiv, denn: $g(-1)=1=g(1)$