Abbildungen: Zeigen Sie: Ist f surjektiv und g ◦ f injektiv, so ist auch g injektiv.

Question

Seien X,Y, Z Mengen, f : X −→ Y und g : Y −→ Z Abbildungen. Zeigen Sie: Ist f surjektiv und g ◦ f injektiv, so ist auch g injektiv.

Ich bin leider planlos wie ich das aufführen soll, ich weiß was injektiv und surjektiv ist. Leider bin ich grade etwas überfordert wie ich überprüfen soll.

MfG

EDIT: Originalüberschrift: "Wie finde ich heraus ob  g ◦ f injektiv ist?" passte nicht zur Frage. "g ◦ f injektiv " ist eine Voraussetzung für die Behauptung. Daher Überschrift präzisiert. 

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Zeigen Sie: Ist die Verknüpfung g ◦ f bijektiv, so ist f injektiv und g surjektiv

Stichworte: verknüpfung,bijektiv,injektiv,funktion,analysis,surjektiv

ich habe nun neu mit dem Studium angefangen und komme nicht ganz so schnell mit. Ich verstehe folgende Übung nicht. Kann mir einer (vielleicht Schritt für Schritt) erklären, was ich hier machen muss. Es wäre schön, wenn ich ein beispiel im Heft stehen habe, vielleicht wird es mir dann deutlicher. Die Aufgabe lautet:


$$ Aufgabe\quad 2\quad (Injektiv,surjektiv,bijektiv)\\ Seien\quad f:\quad A\rightarrow B\quad und\quad g:\quad B\rightarrow C\quad Abbildungen.\quad Zeigen\quad Sie:\\ Ist\quad die\quad Verknüpfung\quad g\circ f\quad bijektiv,\quad so\quad ist\quad f\quad injektiv\quad und\quad g\quad surjektiv.\quad \\ Gilt\quad auch\quad die\quad Umkehrung,\quad d.h.\quad folgt\quad aus\quad f\quad injektiv\quad und\quad \quad g\quad surjektiv,\quad dass\quad g\circ f\quad bijektiv\quad ist?\\ (Hinweis:\quad Beweisen\quad Sie\quad die\quad Eigenschaften\quad von\quad f\quad und\quad g\quad getrennt.) $$

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Beweisen oder widerlegen Sie die folgende Aussagen:

a) f ist injektiv und g ist surjektiv =⇒ g ◦ f ist surjektiv

 b) h ◦ h = idA ⇒ h ist bijektiv. 

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Du musst erst wissen (angeben), was die Definitions- und Wertemengen die Funktionen sind. D.h. welche übereinstimmen.

Sonst kannst du bei a) leicht ein Beispiel konstruieren, bei dem man gar nicht verknüpfen kann.

Ansonsten: Klicke dich durch die "ähnlichen Fragen".

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Heyho, ich habe ein riesen Problem.

Seien X,Y, Z Mengen, f : X → Y und g : Y → Z Abbildungen. Zeigen Sie: Ist f surjektiv und g ◦ f injektiv, so ist auch g injektiv.

Ich habe morgen Abgabe und war leider die Woche krank, nun sitze ich schon den ganzen Tag an der obrigen Aufgabe nur leider werde ich aus dem Thema nicht wirklich schlau. 

Ansätze oder ein Beispiel wie man sowas löst wären wirklich Klasse. Bin echt ein bisschen verzweifelt weil ich es einfach nicht verstehe :/

Habe mich schon im Internet schlau gemacht werde aber aus ähnlichen aufgaben nicht schlau :/

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EDIT: Schau bitte jeweils erst bei den "ähnlichen Fragen" z.B. https://www.mathelounge.de/57951/seien-und-abbildungen-zeige-ist-injektiv-surjektiv-injektiv und stelle keine Fragen doppelt ein. Habe deine Fragen nun zusammengefügt.

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Wenn das Tim haga wüsste...

Answer 1

Ist f surjektiv und g ◦ f injektiv, so ist auch g injektiv.

Seien also   f surjektiv und g ◦ f Injektiv,   und a,b aus Y mit g(a) = g(b).

(Dann musst du zeigen, dass   a = b gilt; denn das heißt g ist Injektiv)

Kannst du so zeigen    g(a) = g(b) und a,b aus Y

=>   Es gibt x,y aus X mit f(x)=a und g(y)=b  , weil f surjektiv.

=>       g(f(x)) = g(f(y))   

=>      x = y   , weil  gof  Injektiv .

=>     f(x) = f(y)  , weil f eine Abbildung ist.

=>     a = b   .                 q.e.d.
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