0 Daumen
289 Aufrufe

Aufgabe:

In einer Urne befinden sich 3 weiße und 2 schwarze Kugeln. Es wird so oft ohne zurücklegen gezogen bis eine schwarze Kugel gezogen wird. Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der notwendigen Ziehungen an.

Bestimmen Sie den Erwartungswert der Zufallsgröße X


Problem/Ansatz:

Mir fehlen die Kenntnisse für die Berechnung des Lösungswegs.

Avatar von

1 Antwort

0 Daumen
 
Beste Antwort

Hallo solevita,

Es gibt 4 Möglichkeiten eine Schwarze Kugel zu ziehen.

1.) Durch eine Ziehung (\(X_1 = 1\)) direkt am Anfang mit der Wahrscheinlichkeit \(\frac{2}{5} = 0,4\).

2.) Durch zwei Ziehungen (\(X_2 = 2\)) mit der Wahrscheinlichkeit \(\frac{3}{10} = 0,3\).

3.) Durch drei Ziehungen (\(X_3 = 3\)) mit der Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{5} = 0,2\).

4.) Durch vier Ziehungen (\(X_4 = 4\)) mit der Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{10} = 0,1\).

Die allgemeine Notierung einer solchen Situation sieht wie folgt aus: $$P(X = X_i)=p$$

Die Zufallsgröße \(X\) nimmt mit der Wahrscheinlichkeit \(p\) den Wert \(X_i\) an.

Um den Erwartungswert nun auszurechnen nutzt man summen wie folgt: $$\sum \limits_{i=1}^{n} X_i \cdot P(X=X_i) = E(x)$$

Ausgeschrieben sieht das nun so aus: $$E(x)=0,4 \cdot 1 + 0,3 \cdot 2 + 0,2 \cdot 3 + 0,1 \cdot 4 = 2$$

Man muss also im Durchschnitt 2 Ziehungen durchführen um eine schwarze Kugel zu erhalten.

Bei Fragen gerne einen Kommentar dalassen!


Grüße Simplex

Avatar von

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community