Bestimmen Sie alle 2x2-Matrizen, für die gilt: Au Element Ru. D.h. u=(1,1)^T soll Eigenvektor sein.

Question

Es sei \( u=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right) \).

(a) Bestimmen Sie alle Matrizen \( A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) \), für die gilt \( A u \in \mathbb{R} u \) (d.h. Au und u sind linear abhängig).

(b) Bestimmen Sie alle Matrizen \( B=\left(\begin{array}{ll}m & n \\ p & q\end{array}\right) \), für die \( w=B u \) orthogonal zu \( u \) ist.

Answer 1

Verlangt ist:

a b 1 1
( ) ( ) = k ( )
c d 1 1

ergibt die beiden Gleichungen
a + b = k und

c+d = k

a + b = k → b=k-a

c+d = k --------d= k-c

Es ergeben sich die Matrizen: A=

a k-a
A= ( ) wobei a, c und k Element R
c k-c

b)

w = (a,b)^T senkrecht auf u

a*1 + b*1=0

b= -a

==> w = a(1,-1)^T

m n 1 1
( ) ( ) = a ( )
p q 1 -1

ergibt die beiden Gleichungen
m + n = a und

p+q = -a

m + n = a → n = a-m

p+q = -a → q=-a-p

Es ergeben sich die Matrizen: A=

m a-m
A= ( ) wobei m,p und a Element R
p -a-p