Ereignisse über Schnitte und Vereinigungen ausdrücken

Question

Aufgabe:

Für das zufällige Experiment “N-maliges Werfen eines Würfels“ ¨
bestimme man in einem geeigneten Ereignisraum die Mengen, die folgende Ereignisse repräsentieren :
a) An = “der  n-te Wurf ergibt eine 3“,
b) Bn = “der  n-te Wurf ergibt die erste 3“,
c) D = “es kommt genau eine 3 vor“.
Lassen sich Bn und D über Schnitte und Vereinigungen der ¨ An’s und An’s, n = 1, . . . , N,
ausdrücken?

(bei dem letzten An steht noch dieser Strich zur Verneinung)

ich verstehe nicht, wie ich das nur über Ans ausrücken soll bzw. kann.

Answer 1

Der n-te Wurf ergibt genau dann die erste 3, wenn die ersten n-1 Würfe keine 3 ergeben und der n-te Wurf eine drei ergibt.

Die ersten n-1 Würfe ergeben keine 3: \(\overline{A_1}\cap \overline{A_2}\cap\dots\cap\overline{A_{n-1}}=\bigcap_{i=1}^{n-1}\overline{A_i}\).

Also ist $$\qquad B_n = \bigcap_{i=1}^{n-1}\overline{A_i}\cap A_n$$

Die einzige 3 kommt an der Stelle \(n\) vor: $$\qquad\bigcap_{\substack{i=1\\i\neq n}}^{N}\overline{A_i}\cap A_n$$

Also ist $$\qquad D = \bigcup_{n=1}^N\left(\bigcap_{\substack{i=1\\i\neq n}}^{N}\overline{A_i}\cap A_n\right)$$

Comments

Vielen Dank. Ich habe grade gemerkt, dass ich die Aufgabe etwas falsch verstanden hatte, aber so macht es Sinn.