Löse die Gleichung dy²/dx²=d²y/dx²

Question

Hallo, ihr Wissenden!!!

Mein Problem steht im Titel. Ich soll eine Differentialgleichung lösen, bei der auf beiden Seiten dasgleiche steht.

Kann mir hier vielleicht jemand weiterhelfen?

Comments

bei der auf beiden Seiten dasgleiche steht.

Tut es nicht.

Answer 1

Aloha :)

Die beiden Seiten der Differentialgleichung sind nicht gleich, denn es gilt:$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\frac{d}{dx}y=y''(x)\quad;\quad\frac{dy^2}{dx^2}=\frac{dy}{dx}\frac{dy}{dx}=\left[y'(x)\right]^2$$Zur Berechnung setzen wir $z(x):=y'(x)$ und erhalten dann die DGL:

$$\left.z'(x)=z^2(x)\quad\right|\;\text{links Differentiale verwenden}$$$$\left.\frac{dz}{dx}=z^2\quad\right|\;\cdot\frac{dx}{z^2}$$$$\left.\frac{dz}{z^2}=dx\quad\right|\;\text{links und rechts integrieren}$$$$\left.-\frac{1}{z}=x+c_1\quad\right|\;c_1=\text{const.}\quad;\quad\text{Kehrwerte nehmen}$$$$\left.-z=\frac{1}{x+c_1}\quad\right|\;\cdot(-1)$$$$\left.z=-\frac{1}{x+c_1}\quad\right|\;z=y'(x)\text{ einsetzen}$$$$\left.y'(x)=-\frac{1}{x+c_1}\quad\right|\;\text{integrieren}$$$$\left.y(x)=-\ln\left|x+c_1\right|+c_2\quad\right|\;c_1,c_2=\text{const}$$Die Integrationskonsten $c_1,c_2$ können aus den Anfangsbedingungen berechnet werden.

Comments

1. Bei deiner Lösung solltest du den Fall  z = 0  nicht unterschlagen.

2. Ist es sicher, dass dy²/dx² = (dy/dx)² ist ?
     Könnte nicht eventuell y² nach x² abgeleitet werden sollen ?
    Bsp.  y = x²  ⇒  y² = (x²)²  und  d( (x²)² ) / d (x²)  =  2x²

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Ja, es ist sicher, dass $\frac{dy^2}{dx^2}=\left(\frac{dy}{dx}\right)^2$ ist. Das ist gängige Konvention. Wollte man $y^2$ nach $x^2$ ableiten, würde dort stehen: $\frac{d(y^2)}{d(x^2)}$.

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Das ist gängige Konvention.

War mir nicht bekannt, danke.

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Im Skript steht das auch so mit zweiter Ableitung und Quadrat der ersten Ableitung, habe ich dummerweise eben gerade erst gesehen. Jetzt ist alles verständlich.

Danke schön.

Answer 2

Da steht nicht auf beiden Seiten "dasgleiche"

Lies bitte nochmal genau, was Du gepostet hast und wenn das, was Da steht, das ist, was Du fragen möchtest, können wir weitermachen ...

Bitte nutze die Hilfen, die dieses Portal zur Eingabe mathematischer Zeichenfolgen anbietet, um Missverständnisse zu vermeiden.

Comments

Hallo pleindespoir!!!

Ich habe das genauso abgeschrieben, wie es auf dem Aufgabenblatt steht.

Zähler Bruch links = dy²

Nenner Bruch links= dx²

Zähler Bruch rechts = d²y

Nenner Bruch rechts = dx²

Spielt es eine Rolle, wo die 2 im Zähler steht?