Stochastik Diffusion

Question

Aufgabe :

Ein Behälter entfällt ingesamt 36mio Teilchen. Eine durchlässige Membran teilt ihn in zwei Bereiche A und B. Im Sekundentakt diffundieren 10% der gelegen von b nach a und 20% von a nach b.

Zu Beginn des Prozesses befinden sich 27mio Zeichen in A und 9mio in B

A) welche Teilchenanzahl stellen sich langfristig ein ?

B) welche langfristige Entwicklung ergibt sich wenn sich zu Beginn alle 36 mio Teilchen im Bereich a befinden

Problem/Ansatz:

A) M¹⁰⁰ ist ja die langfristige Verteilung das sind 0.3 Periode und 0.6 Periode * der Verteilung vom Anfang also 0.3 Periode *0.75(27mio) und 0.6 Periode*0.25(9mio)

Ist das richtig ?

B) das gleiche bloß mal 1und 0 wobei bei bei dem ersten 0 rauskommt und bei dem 2 21.6 mio muss ich das für die B Membran dann einfach anziehen  ?

Answer 1

Die Übergangsmatrix lautet  $$M = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.1 \\ 0.2 & 0.9 \end{pmatrix}$$ und $$\lim_{n\to\infty} M^n = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix}$$

Also gilt $$M^\infty \begin{pmatrix} 27\\9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12\\24 \end{pmatrix}$$ und auch $$M^\infty \begin{pmatrix} 36\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12\\24 \end{pmatrix}$$

Answer 2

Aloha :)

Pro Sekunde wechseln 20% von A nach B, also bleiben 80% bei A. Pro Sekunde wechseln aber auch 10% von B nach A, also bleiben 90% bei B. Das ergibt die folgende Übergangsmatrix:$$M=\left(\begin{array}{c}0,8 & 0,1\\0,2 & 0,9\end{array}\right)$$Wenn das System im Gleichgewichtszustand $\vec g=\binom{g_1}{g_2}$ ist, gilt:$$\left(\begin{array}{c}0,8 & 0,1\\0,2 & 0,9\end{array}\right)\cdot\binom{g_1}{g_2}=\binom{g_1}{g_2}$$$$\left(\begin{array}{c}0,8 & 0,1\\0,2 & 0,9\end{array}\right)\cdot\binom{g_1}{g_2}-\binom{g_1}{g_2}=\binom{0}{0}$$$$\left(\begin{array}{c}0,8-1 & 0,1\\0,2 & 0,9-1\end{array}\right)\cdot\binom{g_1}{g_2}=\binom{0}{0}$$$$\left(\begin{array}{c}-0,2 & 0,1\\0,2 & -0,1\end{array}\right)\cdot\binom{g_1}{g_2}=\binom{0}{0}$$Ausgeschrieben sind das zwei zueinander äquivalente Gleichungen:$$-0,2g_1+0,1g_2=0\quad;\quad0,2g_1-0,1g_2=0\;\;\Rightarrow\;\;0,1g_2=0,2g_1\;\;\Rightarrow\;\;\underline{g_2=2g_1}$$Bei 36 Mio. Teilchen stellt sich daher folgender Gleichgewichtszustand ein:$$\vec g=\binom{12}{24}$$Dieser Gleichgewichtszustand ist völlig unabhängig vom Startzustand, der in der Rechnung ja auch gar nicht vorkommt. Das heißt bei a) und b) kommt derselbe Gleichgewichtszustand heraus.