Beweis Punktweise Konvergenz

Question

Hallo,

bei folgender Aufgabe bin ich mir unsicher:

Untersuche, ob die Funktionsfolge f_n punktweise konvergiert und berechne gegebenenfalls die Grenzfunktion.

f_n= (nx/1+n|x|)

Ich habe versucht, das Cauchy Kriterium anzuwenden, um ein n₀ zu finden. Jedoch komme ich hier nicht weiter, da ich der Meinung bin, dass n₀ von x abhängt, und f_n damit nicht punktweise konvergent sein kann.

Answer 1

Aloha :)

Ich vermute, du verwechselst punktweise Konvergenz mit gleichmäßiger Konvergenz. Bei punktweiser Konvergenz darf \(n_0\) von \(x\) und \(\varepsilon\) abhängen, also \(n_0=n_0(x,\varepsilon)\). Die gleichmäßige Konvergenz ist strenger, bei ihr darf \(n_0\) nur von \(\varepsilon\) abhängen, also \(n_0=n_0(\varepsilon)\). Aus gleichmäßiger Konvergenz folgt daher auch die punktweise Konvergenz, die Umkehrung gilt allerdings nicht.

Comments

Ach stimmt. Danke.

Dann wäre doch sicher eine Fallunterscheidung mit x>0 bzw. x<0 sinnvoll? Wenn ja, sollte ich dann am besten durch Abschätzungen auf ein n₀ kommen?

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Ich würde hier folgende Fallunterscheidung durchführen:

$$x\ge0\;\Rightarrow\;\frac{nx}{1+n|x|}=\frac{1+nx-1}{1+nx}=1-\frac{1}{1+nx}$$$$x<0\;\Rightarrow\;\frac{nx}{1+n|x|}=\frac{nx}{1-nx}=-\frac{-nx}{1-nx}=-\frac{1-nx-1}{1-nx}=-\left(1-\frac{1}{1-nx}\right)=-1+\frac{1}{1-nx}$$Das sieht nach einer unstetigen Grenzfunktionen aus:$$f(x)=\left\{\begin{array}{c}1 & (x>0)\\0 & (x=0)\\ -1 & (x<0)\end{array}\right.$$Weil \(n_0=n_0(x,\varepsilon)\) zulässig ist, kannst du in dem \(n_0\) die Fallunterscheidungen für \(x\) einfließen lassen. Die Grenzfunktion muss übrigens nicht stetig sein, was sie in diesem Fall hier ja auch nicht ist.

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Super, vielen Dank.