Hallo,
habe die folgende Aufgabe bearbeitet und würde gerne wissen, ob ich mit meiner Lösung auf dem richtigen Weg bin.
Ich habe eine Menge M = ℚ2 \ {(0,0)} und eine Relation
(a, a') ~ (b, b') : ∃λ ∈ ℚ \ {0} : (λ * a = b und λ * a' = b')
Dazu muss ich ja zeigen, dass die Relation reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
reflexiv und symmetrisch bekomme ich denke ich noch ganz gut hin:
reflexiv :
(a, a')~(a, a') -> λ * a = a und λ * a' = a' passt beides für λ = 1
symmetrisch:
(a, a') ~ (b, b') => (b, b') ~ (a ,a')
λ * a = b und λ * a' = b' => λ * b = a und λ * b' = a'
Auch dafür lassen sich in ℚ offensichtlich λ finden.
transitiv:
(a, a') ~ (b,b') und (b, b') ~ (c, c') => (a, a') ~ (c, c')
λ * a = b und λ * a' = b' UND λ * b = c und λ * b' = c' => λ * a = c und λ * a' = c'
Da habe ich dann die jeweils zweite Gleichung nach b bzw. b' umgeformt
b = \( \frac{c}{λ} \) und b' = \( \frac{c'}{λ} \)
in die ersten beiden eingesetzt und Umgeformt
λ * a = \( \frac{c}{λ} \) = λ2 * a = c
Daraus habe ich dann gefolgert, dass wenn es ein λ2 ich dieses auch als λ wählen kann und damit
die Aussage auch wahr ist und somit eine Aquivalenzrelation besteht, aber da weiß ich nicht ob man das so sagen kann und ich es richtig verstanden habe.
