Bestimmen Sie die sogenannten Unstetigkeitsstellen von f und die Art der Unstetigkeit an den Unstetigkeitsstellen

Question

\( f(x)\left\{\begin{array}{l}{\frac{2 x^{2}+x+1}{x^{2}-x}, \text { falls } x<-1} \\ {2+\frac{2}{x-1}, \text { falls } x \in[-1,1] \cup(1,2]} \\ {x^{2}-x+1, \text { falls } x>2}\end{array}\right. \)
\( f(x)=\frac{2 x-2+2}{x-1}=\frac{2 x}{x-1} \)
\( \lim \limits_{x \rightarrow 1+} \frac{2 x}{x-1}=-\infty \)
\( \lim \limits_{x \rightarrow 1-} \frac{2 x}{x-1}=+\infty \)

Gegeben ist die Funktion \( f: R \backslash \{1\} \rightarrow R \) (die erste). Die Unstetigkeitsstellen sollen bestimmt werden und die Art. Ich habe meine Lösung darunter geschrieben, demnach ist das eine Sprungstelle in der Funktion, aber ich wusste mit den anderen Funktionsfällen nichts anzufangen, da nur die mittlere die Polstelle x0= 1 erlaubt.

Eine Korrektur meines Lösungsvorschlags würde mir weiterhelfen.

Answer 1

Nun musst du noch testen, was an den Definitionsübergängen passiert (Sprung oder nicht?)

Springt dort die Funktion?

Daher lim f1(x) für x --> -1- bestimmen

und von f2(x) für x--> -1+

Dasselbe bei x = 2


Wo keine zwingende Definitionslücke vorhanden ist, kannst du einfach den x-Wert am Rand in die Funktionsgleichungen einsetzen.

Comments

Hattest du das so gemeint? bzw. ist meine Lösung da jetzt richtig?

\( \lim \limits_{x \rightarrow-1^{-}} \frac{2 x^{2}+x+1}{x^{2}-x}=+\infty \)
\( \lim \limits_{x \rightarrow-1+} \frac{2 x}{x-1}=-1 \)
\( \lim \limits_{x \rightarrow 2-} \frac{2 x}{x-1}=\frac{4}{3} \)
\( \lim \limits_{x \rightarrow 2+} x^{2}-x+1=3 \)

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Ich versuch mich mal mit dem Einsetzen. Deine lim-Schreibweise links vom gleich ist gut so. Daher hier nur Nummern.

1. = (2(-1)^2 + (-1) + 1) / ((-1)^2 - (-1)) = 2/3

2. = 2(-1) / (-1-1) = = (-2) / (-2) = 1

3. = 2*2 / (2-1) = 4

4. stimmt = 3

Also Sprungstelle bei x = -1 und Sprungstelle bei x = 2. Die Polstelle bei x=0 hattest du ja schon gefunden.

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oh, dann habe ich ja falsch gerechnet. Ich habe das Zeichen rechts von lim x-> -1- falsch gedeutet, das gibt ja nur die Seite an oder?

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ja: rechts von der Zahl ein + oder - bedeutet 'Grenzwert von rechts und Grenzwert von links'.

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Ich Esel... vielen dank Lu, du hast mir bei dieser Aufgabe sehr geholfen. Wenn du willst kannst du mir bei einer weiteren helfen :D

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Nein. Ich gehe jetzt essen und bin nachher weg.

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Okay, übrigens ich glaube du hast dich bei 1. vertan, denn  anstatt 2/3 habe ich da 1 raus. Das würde dann heißen, dass bei x=-1 eine Lücke wäre anstatt einer Sprungstelle?

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Nein nicht mal eine Lücke. Die gestückelte Funktion wäre dort stetig.

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das heißt, wenn lim x-> -1- f(x) = lim x-> -1+ f(x) ist, dann ist die Funktion stetig?

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 wenn lim x-> -1- f(x) = lim x-> -1+ f(x) = f(-1) ist, dann ist die Funktion stetig?

Definiert muss f bei x= - 1 schon noch richtig sein.