a) \( \mathrm{Zu} p, q \geq 1 \) definieren wir \( f: \mathbb{R}^{n} \backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{R} \) vermöge
$$ f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\frac{\ln \left(\sum \limits_{i=1}^{n} \mathrm{e}^{\left|x_{i}\right|^{1 / q}}\right)}{\sum \limits_{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|^{p}} $$
Kann \( f \) stetig auf ganz \( \mathbb{R}^{n} \) fortgesetzt werden? Beweisen oder widerlegen Sie.
b) \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\left(f_{1}(x, y), f_{2}(x, y), f_{3}(x, y)\right) & (x, y) \neq(0,0) \\ (0,0,0) & (x, y)=(0,0)\end{array}\right. \)
$$ \begin{array}{c} f_{1}(x, y)=\tan \left(\frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right) \cdot \sin \left(\frac{x^{2} y}{x^{4}+y^{2}}\right) \\ f_{2}(x, y)=\frac{\mathrm{e}^{x^{2}+y^{2}}-1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \quad f_{3}(x, y)=\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} \end{array} $$
Hinweis: Machen Sie sich die Äquivalenz aller Normen auf \( \mathbb{R}^{n} \) zunutze und wählen Sie Normen, die jeweils gut zum gegebenen Problem passen.
(ich habe leider noch keinen Ansatz bei b)
