Nablaoperator und Vektorfelder

Question

Beweisen Sie durch explizites ausrechnen, dass gilt:
$$ \nabla \cdot(\vec{E} \times \vec{B})=\vec{B} \cdot(\nabla \times \vec{E})-\vec{E} \cdot(\nabla \times \vec{B}) $$
Hierbei sind \( \vec{E} \) und \( \vec{B} \) jeweils drei-dimensionale Vektorfelder.

Mein Ansatz:

Nach explizitem Ausrechnen erhalte ich für die linke Seite der Gleichung:

\( \frac{∂}{∂x} \) (E_y * B_z - E_z * B_y) + \( \frac{∂}{∂y} \) (E_z * B_x - E_x * B_z) \( \frac{∂}{∂z} \) (E_x * B_y - E_y * B_x)

Für die rechte Seite habe ich allerdings alles mögliche durchgerechnet allerdings komme ich in keinem der Fälle auf das Ergebnis der linken Seite.

Für Tipps oder Hilfestellungen wäre ich sehr dankbar!

Answer 1

Aloha :)$$\vec\nabla\cdot(\vec E\times\vec B)=\begin{pmatrix}\partial_1\\\partial_2\\\partial_3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}E_2B_3-E_3B_2\\E_3B_1-E_1B_3\\E_1B_2-E_2B_1\end{pmatrix}$$$$=\partial_1(E_2B_3-E_3B_2)+\partial_2(E_3B_1-E_1B_3)+\partial_3(E_1B_2-E_2B_1)$$$$=\partial_1(E_2B_3)+\partial_2(E_3B_1)+\partial_3(E_1B_2)-\partial_1(E_3B_2)-\partial_2(E_1B_3)-\partial_3(E_2B_1)$$$$=B_3\partial_1E_2+E_2\partial_1B_3+B_1\partial_2E_3+E_3\partial_2B_1+B_2\partial_3E_1+E_1\partial_3B_2$$$$-B_2\partial_1E_3-E_3\partial_1B_2-B_3\partial_2E_1-E_1\partial_2B_3-B_1\partial_3E_2-E_2\partial_3B_1$$$$=B_1(\partial_2E_3-\partial_3E_2)+B_2(\partial_3E_1-\partial_1E_3)+B_3(\partial_1E_2-\partial_2E_1)$$$$-E_1(\partial_2B_3-\partial_3B_2)-E_2(\partial_3B_1-\partial_1B_3)-E_3(\partial_1B_2-\partial_2B_1)$$$$=\begin{pmatrix}B_1\\B_2\\B_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\partial_2E_3-\partial_3E_2\\\partial_3E_1-\partial_1E_3\\\partial_1E_2-\partial_2E_1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}E_1\\E_2\\E_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\partial_2B_3-\partial_3B_2\\\partial_3B_1-\partial_1B_3\\\partial_1B_2-\partial_2B_1\end{pmatrix}$$$$=\vec B(\vec\nabla\times E)-\vec E(\vec\nabla\times B)$$

Comments

Ich kann dir gar nicht genug danken!!!
Saß bis jetzt dran und habe dank deiner Antwort endlich meinen Fehler gefunden, tausend Dank!