Transposition, Fehlstände, gerade, ungerade

Question

Gegeben sei die Permutation $\sigma \in S_{5}$ mit
$$\sigma:=\left(\begin{array}{lllll} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 2 & 1 \end{array}\right)$$
a) Stellen Sie $\sigma$ als Verknüpfung von Transpositionen $\tau_{1}, \ldots, \tau_{k}$ dar.
b) Bestimmen Sie die Menge aller Fehlstände $F_{5}(\sigma)$
c) Folgern Sie anschließend, einmal aus a) und einmal aus b), das Vorzeichen $\operatorname{sign}(\sigma)$ von $\sigma .$ Ist $\sigma$ also gerade oder ungerade?

a) ist das richtig? (1°3) (3°5) (2°4) (4°2) (5°1)

b) keine ahnung

c) man muss doch (-1)^k machen aber ich weiss nicht was die Fehlstände sind :(

Answer 1

Hallo,

a)

zunächst schreibst du die Permutationsgruppe als Produkt von Zyklen, d.h., dass $\sigma = (135)(24)$. Diesen Zyklus schreiben wir nun in eine Transposition, also $\sigma = (135)(24)=(15)(35)(24)$

b)

Man spricht von einem Fehlstand von $\sigma$, wann immer in der Folge der Bildelemente eine größere Zahl vor einer kleineren steht, also $\sigma (i)>\sigma (j)$ während aber $i<j$. So weist die Permutation $\sigma \in S_5$ mit $(1,2,3,4,5) \overset{\sigma} \mapsto (3,4,5,2,1)$ sieben Fehlstände auf, nämlich $(2,1)$, $(3,2)$, $(3,1)$, $(4,2)$, $(4,1)$ , $(5,2)$ und $(5,1)$, die du zu $F_5(\sigma)$ zusammenfasst.

c)

Aus b) folgerst du das, indem du $\text{sgn}\, \sigma =\prod \limits_{i<j}\frac{\sigma(j)-\sigma(i)}{j-i}$ berechnest.

Comments

liest du die Zykel nicht von "rechts nach links"? Bei a) gilt doch für  $\sigma$ bei dir bspw. $5 \mapsto 3$, wobei eigentlich $5 \mapsto 1$ gelten sollte.

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Ich kenne das so:

Video auf Youtube

hier kann man Ergebnis auch noch einmal bestätigen:

Zykel:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=cycle+%7B1%2C3%2C5%7D%7B2%2C4%…

Transposition:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=transposition+of+cycle+%7B1%2C…

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Hmm okay, wir haben es nur so definiert, wie es auch hier beschrieben wird (Vgl. insb. Seite 3 oben). Ist für mich auch irgendwie einleuchtender von rechts nach links zu arbeiten, da die Komposition ja eben so definiert ist.

Ja das WA das auf deine Weise macht, ist mir damals, wo ich das gelernt habe schon aufgefallen.