Beweis der Existenz eines Schnittpunktes zweier Funktionen. Zwischenwertsatz

Question

Ich hoffe mir kann bei dieser Aufgabe jemand behilflich sein, da ich keinen wirklich richtigen Ansatz habe. Die Aufgabe ist aus dem ersten Semester in Analysis1.

 

Aufgabe H1 (Stetige Funktionen)

(a) Es seien a und b reelle Zahlen mit a < b. Des Weiteren seien f , g : [a, b] →ℝ  zwei stetige
Funktionen mit f (a) < g(a) und f (b) > g(b).
Zeigen Sie, dass es eine Zahl x₀∈  [a, b] gibt, für die f (x₀) = g(x₀) gilt.

 

Gruß Marko
 

Answer 1

Du definierst eine Funktion \(h:[a, b]\to\mathbb{R}, h(x)=f(x)-g(x).\)

Wegen \(f(a)<g(a)\) ist \(h(a)<0\), und wegen \(f(b)>g(b)\) ist \(h(b)>0\).

Laut Zwischenwertsatz hat \(h\) dann eine Nullstelle \(x_0\in [a, b]\). Dort ist dann \(0=h(x_0)=f(x_0)-g(x_0)\), also ,\(f(x_0)=g(x_0).\)

Comments

Vielen Dank, hat mir sehr viel weiter geholfen!