Taylorpolynom T2(x) = (1/2)*x - (1/8)*x^2 für ln(5/4)

Question

^Hallo,

^{in der Aufgabe ist eine Funktion f(x) = ln(1 + (1/2)*x) und das Taylorpolynom 2. Grades, also T}₂^{(x) = (1/2)*x - (1/8)*x^2 gegeben.}

^{Gesucht ist eine Näherungswert für ln(5/4), welcher mithilfe des Taylorpolynoms 2. Grades gelöst werden soll.}

^{Ich habe versucht ln(5/4) in T}₂ ^{für x einzusetzen, aber komme so nicht auf die Lösung von ca. 7/32.}

^{Gehe ich hier falsch vor?}

^LG

Answer 1

Aloha :)

Die Näherung lautet:

$$\ln\underbrace{\left(1+\frac{1}{2}x\right)}_{=5/4}\approx\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2$$Wenn du \(\ln(5/4)\) bestimmen sollst, musst du das \(x\) passend dazu ausrechnen:$$1+\frac{1}{2}x=\frac{5}{4}\quad\Leftrightarrow\quad\frac{1}{2}x=\frac{1}{4}\quad\Leftrightarrow\quad x=\frac{1}{2}$$Du musst also \(x=1/2\) in die Näherungsformel einsetzen.